线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章线性代数中的线性方程组 1.5 线性方程组的解集(1)

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1.5

练习题

1.
下列两个方程都确定了 $R3\mathbb{R}^3$ 中的一个平面，这两个平面是否相交？如果相交的话，描述它们的交集。
$\begin{cases} x_1 + 4x_2 - 5x_3 = 0 \\ 2x_1 - x_2 + 8x_3 = 9 \end{cases}$

解答：

增广矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -5 & 0 \\ 2 & -1 & 8 & 9 \end{bmatrix}$
行变换过程：
1. $R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 4 & -5 & 0 \\ 0 & -9 & 18 & 9 \end{bmatrix}$
2. $R2←−19R2R_2 \leftarrow -\frac{1}{9}R_2$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 4 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$
3. $R1←R1−4R2R_1 \leftarrow R_1 - 4R_2$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$
解集分析：
- 主元列：第 1 列、第 2 列 → 基本变量： $x_1, x_2$
- 自由变量： $x_3$ （令 $x_3 = t$ ）
- 方程组：
  $\begin{cases} x_1 = 4 - 3t \\ x_2 = -1 + 2t \end{cases}$
- 参数向量形式：
  $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

结论：
两个平面相交，交集为一条直线。该直线通过点 $(4, - 1, 0)$ ，方向向量为 $(- 3, 2, 1)$ 。

2.
写出方程 $10x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 7$ 的参数向量形式的通解，讨论这个解集与例 2 中的解集的关系。

解答：

令 $x_2$ 和 $x_3$ 为自由变量，则：
$x_1 = \frac{7 + 3x_2 + 2x_3}{10} = 0.7 + 0.3x_2 + 0.2x_3$
参数向量形式：
$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.7 + 0.3x_2 + 0.2x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.7 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 0.3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} 0.2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
与例 2 的关系：
- 例 2 对应齐次方程 $10x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 0$ ，其解集为：
  $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_2 \begin{bmatrix} 0.3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} 0.2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
- 非齐次方程的解集是齐次方程解集平移 $[0.700]\begin{bmatrix} 0.7 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 得到的。

结论：
非齐次方程 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的解集是平移后的平面 $\text{Span}\{u, v\}$ ，它经过点 $p$ 且平行于例 2 中的齐次方程的解集。

3.
证明定理 6 的第一部分：假设 $p\mathbf{p}$ 是 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的一个解，因此 $Ap=bA\mathbf{p} = \mathbf{b}$ 。令 $vh\mathbf{v}_h$ 是齐次方程 $Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的任意解。证明 $w=p+vh\mathbf{w} = \mathbf{p} + \mathbf{v}_h$ 也是 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的一个解。

证明：

由假设， $Ap=bA\mathbf{p} = \mathbf{b}$ 且 $Avh=0A\mathbf{v}_h = \mathbf{0}$ 。
计算 $AwA\mathbf{w}$ ：
$A\mathbf{w} = A(\mathbf{p} + \mathbf{v}_h) = A\mathbf{p} + A\mathbf{v}_h = \mathbf{b} + \mathbf{0} = \mathbf{b}$
因此， $w\mathbf{w}$ 满足 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 。

结论：
$w=p+vh\mathbf{w} = \mathbf{p} + \mathbf{v}_h$ 是 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的一个解。

习题1.5

求解方程组
$\begin{cases} 2x_1 - 5x_2 + 8x_3 = 0 \\ -2x_1 - 7x_2 + x_3 = 0 \\ 4x_1 + 2x_2 + 7x_3 = 0 \end{cases}$

解答：
系数矩阵： $[2−58−2−71427]\begin{bmatrix} 2 & -5 & 8 \\ -2 & -7 & 1 \\ 4 & 2 & 7 \end{bmatrix}$

行变换过程：

$R2←R2+R1R_2 \leftarrow R_2 + R_1$ ： $[2−580−129427]\begin{bmatrix} 2 & -5 & 8 \\ 0 & -12 & 9 \\ 4 & 2 & 7 \end{bmatrix}$
$R3←R3−2R1R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1$ ： $[2−580−129012−9]\begin{bmatrix} 2 & -5 & 8 \\ 0 & -12 & 9 \\ 0 & 12 & -9 \end{bmatrix}$
$R3←R3+R2R_3 \leftarrow R_3 + R_2$ ： $[2−580−129000]\begin{bmatrix} 2 & -5 & 8 \\ 0 & -12 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

结论： $x_3$ 为自由变量，方程组有非平凡解。

求解方程组
$\begin{cases} x_1 - 3x_2 + 7x_3 = 0 \\ -2x_1 + x_2 - 4x_3 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + 9x_3 = 0 \end{cases}$

解答：
系数矩阵： $[1−37−21−4129]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 7 \\ -2 & 1 & -4 \\ 1 & 2 & 9 \end{bmatrix}$

行变换过程：

$R2←R2+2R1R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1$ ： $[1−370−510129]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 7 \\ 0 & -5 & 10 \\ 1 & 2 & 9 \end{bmatrix}$
$R3←R3−R1R_3 \leftarrow R_3 - R_1$ ： $[1−370−510052]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 7 \\ 0 & -5 & 10 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix}$
$R3←R3+R2R_3 \leftarrow R_3 + R_2$ ： $[1−370−5100012]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 7 \\ 0 & -5 & 10 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix}$

结论：无自由变量，方程组仅有平凡解 $x_1, x_2, x_3) = (0, 0, 0)$ 。

求解方程组
$\begin{cases} -3x_1 + 5x_2 - 7x_3 = 0 \\ -6x_1 + 7x_2 + x_3 = 0 \end{cases}$

解答：
系数矩阵： $[−35−7−671]\begin{bmatrix} -3 & 5 & -7 \\ -6 & 7 & 1 \end{bmatrix}$

行变换过程：

$R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ ： $[−35−70−315]\begin{bmatrix} -3 & 5 & -7 \\ 0 & -3 & 15 \end{bmatrix}$

结论： $x_3$ 为自由变量，方程组有非平凡解（含 2 个方程、3 个未知数，必存在自由变量）。

求解方程组
$\begin{cases} -5x_1 + 7x_2 + 9x_3 = 0 \\ x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 0 \end{cases}$

解答：
系数矩阵： $[−5791−26]\begin{bmatrix} -5 & 7 & 9 \\ 1 & -2 & 6 \end{bmatrix}$

行变换过程：

交换 $R1↔R2R_1 \leftrightarrow R_2$ ： $[1−26−579]\begin{bmatrix} 1 & -2 & 6 \\ -5 & 7 & 9 \end{bmatrix}$
$R2←R2+5R1R_2 \leftarrow R_2 + 5R_1$ ： $[1−260−339]\begin{bmatrix} 1 & -2 & 6 \\ 0 & -3 & 39 \end{bmatrix}$

结论： $x_3$ 为自由变量，方程组有非平凡解（含 2 个方程、3 个未知数，必存在自由变量）。

5. 把 $A X = 0$ 的解用参数向量形式表示出来，其中 $A$ 行等价于给定的矩阵

$\begin{cases} x_1 + 3x_2 + x_3 = 0 \\ -4x_1 - 9x_2 + 2x_3 = 0 \end{cases}$

解答：
系数矩阵： $[131−4−92]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -4 & -9 & 2 \end{bmatrix}$

行变换过程：

$R2←R2+4R1R_2 \leftarrow R_2 + 4R_1$ ： $[131036]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 6 \end{bmatrix}$
$R2←13R2R_2 \leftarrow \frac{1}{3}R_2$ ： $[131012]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
$R1←R1−3R2R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2$ ： $[10−5012]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

主元列为第1、2列， $x_3$ 为自由变量。
由矩阵得： $x_1 = 5x_3$ ， $x_2 = -2x_3$

结论：
解集为 $x_3\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，其中 $x3∈Rx_3\in\mathbb{R}$

6. 把 $A X = 0$ 的解用参数向量形式表示出来，其中 $A$ 行等价于给定的矩阵

$\begin{cases} x_1 + 3x_2 - 5x_3 = 0 \\ x_1 + 4x_2 - 8x_3 = 0 \\ -3x_1 - 7x_2 + 9x_3 = 0 \end{cases}$

解答：
系数矩阵： $[13−514−8−3−79]\begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 1 & 4 & -8 \\ -3 & -7 & 9 \end{bmatrix}$

行变换过程：

$R2←R2−R1R_2 \leftarrow R_2 - R_1$ ： $[13−501−3−3−79]\begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 0 & 1 & -3 \\ -3 & -7 & 9 \end{bmatrix}$
$R3←R3+3R1R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1$ ： $[13−501−302−6]\begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & -6 \end{bmatrix}$
$R3←R3−2R2R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$ ： $[13−501−3000]\begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$R1←R1−3R2R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2$ ： $[10401−3000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

主元列为第1、2列， $x_3$ 为自由变量。
由矩阵得： $x_1 = -4x_3$ ， $x_2 = 3x_3$

结论：
解集为 $x_3\begin{bmatrix} -4 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，其中 $x3∈Rx_3\in\mathbb{R}$

7. 把 $A X = 0$ 的解用参数向量形式表示出来，其中 $A$ 行等价于给定的矩阵

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & -3 & 7 \\ 0 & 1 & -4 & 5 \end{bmatrix}$

解答：
矩阵已是行阶梯形。主元列为第1、2列，自由变量为 $x_3, x_4$ 。

由第二行： $x_2 = 4x_3 - 5x_4$
代入第一行： $x_1 = -9x_3 + 8x_4$

结论：
解集为 $x_3\begin{bmatrix} -9 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} 8 \\ -5 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，其中 $x3,x4∈Rx_3, x_4\in\mathbb{R}$

8. 把 $A X = 0$ 的解用参数向量形式表示出来，其中 $A$ 行等价于给定的矩阵

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & -9 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & -6 \end{bmatrix}$

解答：
矩阵已是行阶梯形。主元列为第1、2列，自由变量为 $x_3, x_4$ 。

由第二行： $x_2 = -2x_3 + 6x_4$
代入第一行： $x_1 = 5x_3 + 7x_4$

结论：
解集为 $x_3\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} 7 \\ 6 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，其中 $x3,x4∈Rx_3, x_4\in\mathbb{R}$

9. 把 $A X = 0$ 的解用参数向量形式表示出来，其中 $A$ 行等价于给定的矩阵

$\begin{bmatrix} 3 & -9 & 6 \\ -1 & 3 & -2 \end{bmatrix}$

解答：
行变换过程：

交换 $R1↔R2R_1 \leftrightarrow R_2$ ： $[−13−23−96]\begin{bmatrix} -1 & 3 & -2 \\ 3 & -9 & 6 \end{bmatrix}$
$R1←−R1R_1 \leftarrow -R_1$ ： $[1−323−96]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 3 & -9 & 6 \end{bmatrix}$
$R2←R2−3R1R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$ ： $[1−32000]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

主元列为第1列，自由变量为 $x_2, x_3$ 。
由第一行： $x_1 = 3x_2 - 2x_3$

结论：
解集为 $x_2\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，其中 $x2,x3∈Rx_2, x_3\in\mathbb{R}$

10. 把 $A X = 0$ 的解用参数向量形式表示出来，其中 $A$ 行等价于给定的矩阵

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & -4 \\ 2 & 6 & 0 & -8 \end{bmatrix}$

解答：
行变换过程：

$R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ ： $[130−40000]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

主元列为第1列，自由变量为 $x_2, x_3, x_4$ 。
由第一行： $x_1 = -3x_2 + 4x_4$

结论：
解集为 $x_2\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，其中 $x2,x3,x4∈Rx_2, x_3, x_4\in\mathbb{R}$

11. 把 $A X = 0$ 的解用参数向量形式表示出来，其中 $A$ 行等价于给定的矩阵

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & -2 & 0 & 3 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

解答：
该矩阵已为简化行阶梯形，对应齐次方程组。

主元列：第1、3、5列 → 基本变量： $x_1, x_3, x_5$
自由列：第2、4、6列 → 自由变量： $x_2, x_4, x_6$
关键提醒： $x_6$ 是自由变量，不能默认其为零
由矩阵各行直接得到：

$\begin{cases} x_1 - 4x_2 - 2x_3 + 3x_5 - 5x_6 = 0 \quad (1) \\ x_3 - x_6 = 0 \quad (2) \\ x_5 - 4x_6 = 0 \quad (3) \end{cases}$

由(2)： $x_3 = x_6$
由(3)： $x_5 = 4x_6$
将 $x_3 = x_6$ 代入(1)：
$x_1 = 4x_2 + 2x_3 - 3x_5 + 5x_6 = 4x_2 + 2x_6 - 12x_6 + 5x_6 = 4x_2 - 5x_6$

将解按自由变量分组：
$\begin{align*} x &= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4x_2 - 5x_6 \\ x_2 \\ x_6 \\ x_4 \\ 4x_6 \\ x_6 \end{bmatrix} \\ &= x_2\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_6\begin{bmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*}$

结论：
解集为
$x_2\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_6\begin{bmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad x_2, x_4, x_6 \in \mathbb{R}$

12. 把 $A X = 0$ 的解用参数向量形式表示出来，其中 $A$ 行等价于给定的矩阵

$\begin{bmatrix} 1 & 5 & 2 & -6 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -7 & 4 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

解答：
矩阵已是简化行阶梯形。主元列为第1、3、6列，自由变量为 $x_2, x_4, x_5$ 。

由第三行： $x_6 = 0$
由第二行： $x_3 = 7x_4 - 4x_5$
由第一行： $x_1 = -5x_2 - 8x_4 - x_5$

结论：
解集为 $x_2\begin{bmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} -8 \\ 0 \\ 7 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -4 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ，其中 $x2,x4,x5∈Rx_2, x_4, x_5\in\mathbb{R}$

13.
某线性方程组的解集表示为 $x_1 = 5 + 4x_3$ , $x_2 = -2 - 7x_3$ , $x_3$ 为自由变量。用向量把它表示成 $R3\mathbb{R}^3$ 中的直线。

解答：
将解写成向量形式：

设自由变量 $x_3 = t$ （ $\in \mathbb{R}$ ），则解可表示为：
$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 + 4t \\ -2 - 7t \\ t \end{bmatrix}$
将向量拆分为常数项和含 $t$ 的项：
$\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4t \\ -7t \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 4 \\ -7 \\ 1 \end{bmatrix}$

结论：
解集为 $R3\mathbb{R}^3$ 中的直线：
$\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 4 \\ -7 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$
该直线经过点 $(5, - 2, 0)$ ，方向向量为 $(4, - 7, 1)$ 。

14.
某线性方程组的解集表示为 $x_1 = 3x_4$ , $x_2 = 8 + x_4$ , $x_3 = 2 - 5x_4$ , $x_4$ 为自由变量。用向量把它表示成 $R4\mathbb{R}^4$ 中的直线。

解答：
将解集写成参数向量形式：

设自由变量 $x_4 = t$ ，其中 $\in \mathbb{R}$ 。
将解表示为向量：
$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3t \\ 8 + t \\ 2 - 5t \\ t \end{bmatrix}$
分离常数项和参数项：
$\begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3t \\ t \\ -5t \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ -5 \\ 1 \end{bmatrix}$

结论：
解集是 $R4\mathbb{R}^4$ 中过点 $[0820]\begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ 且方向向量为 $[31−51]\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ -5 \\ 1 \end{bmatrix}$ 的直线：
$\begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ -5 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$

15.

$\begin{cases} x_1 + 3x_2 + x_3 = 1 \\ -4x_1 - 9x_2 + 2x_3 = -1 \\ -3x_2 - 6x_3 = -3 \end{cases}$

解答：
增广矩阵为 $[1311−4−92−10−3−6−3]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 1 \\ -4 & -9 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & -3 \end{bmatrix}$

行变换过程：

$R2←R2+4R1R_2 \leftarrow R_2 + 4R_1$ ： $[131103630−3−6−3]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 6 & 3 \\ 0 & -3 & -6 & -3 \end{bmatrix}$
$R3←R3+R2R_3 \leftarrow R_3 + R_2$ ： $[131103630000]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 6 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$R2←13R2R_2 \leftarrow \frac{1}{3}R_2$ ： $[131101210000]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$R1←R1−3R2R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2$ ： $[10−5−201210000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

从简化行阶梯形矩阵可知：

主元列为第1、2列，基本变量为 $x_1, x_2$
自由变量为 $x_3$

由方程得到：

$x_1 = -2 + 5x_3$
$x_2 = 1 - 2x_3$
$x_3$ 为自由变量

将解表示为参数向量形式：
$\begin{align*} x &= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 + 5x_3 \\ 1 - 2x_3 \\ x_3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*}$

结论：
解集为直线 $\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，其中 $x3∈Rx_3 \in \mathbb{R}$ 。

16.

$\begin{cases} x_1 + 3x_2 - 5x_3 = 4 \\ x_1 + 4x_2 - 8x_3 = 7 \\ -3x_1 - 7x_2 + 9x_3 = -6 \end{cases}$

解答：
增广矩阵： $[13−5414−87−3−79−6]\begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 & 4 \\ 1 & 4 & -8 & 7 \\ -3 & -7 & 9 & -6 \end{bmatrix}$

行变换过程：

$R2←R2−R1R_2 \leftarrow R_2 - R_1$ ： $[13−5401−33−3−79−6]\begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & 3 \\ -3 & -7 & 9 & -6 \end{bmatrix}$
$R3←R3+3R1R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1$ ： $[13−5401−3302−66]\begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & 3 \\ 0 & 2 & -6 & 6 \end{bmatrix}$
$R1←R1−3R2R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2$ ： $[104−501−3302−66]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 & -5 \\ 0 & 1 & -3 & 3 \\ 0 & 2 & -6 & 6 \end{bmatrix}$
$R3←R3−2R2R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$ ： $[104−501−330000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 & -5 \\ 0 & 1 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

主元列：第1、2列；自由变量： $x_3$
由第1行： $x_1 = -5 - 4x_3$
由第2行： $x_2 = 3 + 3x_3$

结论：
解集为直线 $\begin{bmatrix} -5 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} -4 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，其中 $x3∈Rx_3 \in \mathbb{R}$ 。

17.
说明和比较 $x_1 + 9x_2 - 4x_3 = 0$ 与 $x_1 + 9x_2 = 4x_3$ 的解集。

解答：
这两个方程等价，解集相同。

解集描述：
解方程 $x_1 + 9x_2 - 4x_3 = 0$ 得 $x_1 = -9x_2 + 4x_3$ ，其中 $x_2, x_3$ 为自由变量。

参数向量形式：
$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_2\begin{bmatrix} -9 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

结论：
两个方程的解集都是 $R3\mathbb{R}^3$ 中过原点、由向量 $\begin{bmatrix} -9 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 张成的平面。

18.
说明和比较 $x_1 - 3x_2 + 5x_3 = 0$ 与 $x_1 - 3x_2 + 5x_3 = 4$ 的解集。

解答：
齐次方程 $x_1 - 3x_2 + 5x_3 = 0$ ：
$x_1 = 3x_2 - 5x_3$ ，解集为
$x_2\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
是过原点的平面。

非齐次方程 $x_1 - 3x_2 + 5x_3 = 4$ ：
$x_1 = 4 + 3x_2 - 5x_3$ ，解集为
$\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
是平行于齐次解集但过点 $p = (4, 0, 0)$ 的平面。

结论：
两个解集都是 $R3\mathbb{R}^3$ 中的平面，且平行，但齐次方程的平面过原点，非齐次方程的平面过点 $(4, 0, 0)$ 。

19.
$a=[−20]\mathbf{a} = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix}$ , $b=[−53]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -5 \\ 3 \end{bmatrix}$

解答：
过点 $a\mathbf{a}$ 且平行于 $b\mathbf{b}$ 的直线的参数方程为：
$\mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}, \quad t \in \mathbb{R}$

结论：
直线参数方程为 $x=[−20]+t[−53]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -5 \\ 3 \end{bmatrix}$ ，或写成分量形式：
$x_1 = -2 - 5t$ , $x_2 = 3t$ 。

20.
$a=[3−4]\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix}$ , $b=[−78]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -7 \\ 8 \end{bmatrix}$

解答：
过点 $a\mathbf{a}$ 且平行于 $b\mathbf{b}$ 的直线的参数方程为：
$\mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}, \quad t \in \mathbb{R}$

结论：
直线参数方程为 $x=[3−4]+t[−78]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -7 \\ 8 \end{bmatrix}$ ，或写成分量形式：
$x_1 = 3 - 7t$ , $x_2 = -4 + 8t$ 。