线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章 线性代数中的线性方程组 1.4 矩阵方程Ax=b(2)

21.
设 ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ 0\end{array}\right]$, ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$, ${\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right]$，{v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}{v1​,v2​,v3​} 是否生成 ${\mathbb{R}}^4$？为什么？

解答：

• 构造矩阵 $A=[{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2{\mathbf{v}}_3]$，其为 $4\times 3$ 矩阵。
• 由于矩阵的列数（3）小于 ${\mathbb{R}}^4$ 的维数（4），其列空间的维度最多为 3。
• 根据定理 4，$m\times n$ 矩阵的列生成 ${\mathbb{R}}^m$ 当且仅当矩阵有 $m$ 个主元位置。
• 此处 $m=4$，但矩阵最多有 3 个主元位置，无法覆盖 ${\mathbb{R}}^4$ 的所有向量。

结论：
{v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}{v1​,v2​,v3​} 不能生成 ${\mathbb{R}}^4$。
理由：${\mathbb{R}}^4$ 需要至少 4 个线性无关向量才能生成，而该向量组仅有 3 个向量。

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22.
设 ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -2\end{array}\right]$, ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\\ -2\end{array}\right]$, ${\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}4\\ -1\\ 8\end{array}\right]$，{v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}{v1​,v2​,v3​} 是否生成 ${\mathbb{R}}^3$？为什么？

解答：

• 构造矩阵 $A=[{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2{\mathbf{v}}_3]$，其为 $3\times 3$ 矩阵。

• 行变换过程：
  $$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 4\\ 0& -3& -1\\ -2& 8& -5\end{array}\right]\stackrel{R_1\leftrightarrow R_3}{\to }\left[\begin{array}{ccc}-2& 8& -5\\ 0& -3& -1\\ 0& 0& 4\end{array}\right]$$

• 矩阵行简化后有 3 个主元位置，秩为 3。

• 根据定理 4，$3\times 3$ 矩阵的列生成 ${\mathbb{R}}^3$ 当且仅当秩为 3。

结论：
{v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}{v1​,v2​,v3​} 生成 ${\mathbb{R}}^3$。
理由：矩阵 $A$ 的列秩为 3，覆盖 ${\mathbb{R}}^3$ 的所有向量。

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23.
判断下列命题的真假，给出理由。

a. 方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 称为向量方程。

False。
理由：方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 称为矩阵方程。向量方程特指列向量的线性组合形式（如 $x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +x_n{\mathbf{a}}_n=\mathbf{b}$）。

b. 向量 $\mathbf{b}$ 是矩阵 $A$ 的列的线性组合当且仅当方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 至少有一个解。

True。
理由：根据定理 4，$\mathbf{b}$ 是 $A$ 列的线性组合 $\iff$ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解。

c. 方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 相容，若增广矩阵 $[A\mathbf{b}]$ 的每一行有一个主元位置。

False。
理由：若增广矩阵最后一行是 $[0\cdots 0b]$ 且 $b\ne 0$，则方程不相容，即使其他行有主元。

[!NOTE]

反例说明

考虑以下增广矩阵：
$$[A\mathbf{b}]=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

• 主元位置分析：

  • 第 1 行：第 1 列（在 $A$ 中）
  • 第 2 行：第 2 列（在 $A$ 中）
  • 第 3 行：第 4 列（在增广列 $\mathbf{b}$ 中）

• 方程组形式：
  $$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+3x_3=4\\ x_2+2x_3=3\\ 0x_1+0x_2+0x_3=1\end{array}$$

• 矛盾：第三行对应方程 $0=1$，无解。

• 结论：方程组不相容，尽管增广矩阵的每一行都有主元位置。

d. 乘积 $A\mathbf{x}$ 的第一个元素是乘积的和。

True。
理由：$A\mathbf{x}$ 的第一个元素是 $A$ 的第一行与 $\mathbf{x}$ 的点积，即 ${\sum }_{j=1}^n{A}_{1j}{x}_j$，为乘积的和。

e. 若 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的列生成 ${\mathbb{R}}^m$，则对 ${\mathbb{R}}^m$ 中任意向量 $\mathbf{b}$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 相容。

True。
理由：列生成 ${\mathbb{R}}^m$ 意味着每个 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^m$ 都是列的线性组合，即方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解。

f. 若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，且方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 对 ${\mathbb{R}}^m$ 中某个 $\mathbf{b}$ 不相容，则 $A$ 不能在每一行都有一个主元位置。

True。
理由：若 $A$ 每行都有主元位置，则 $A$ 有 $m$ 个主元，根据定理 4，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 对所有 $\mathbf{b}$ 相容，矛盾。

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24.
判断下列命题的真假，给出理由。

a. 每个矩阵方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 对应于一个有相同解集的向量方程。

True。
理由：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 等价于列向量的线性组合 $x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +x_n{\mathbf{a}}_n=\mathbf{b}$，两者解集相同。

b. 向量的任何线性组合总可以写成 $A\mathbf{x}$ 的形式，其中 $A$ 是适当的矩阵，$\mathbf{x}$ 是适当的向量。

True。
理由：对线性组合 $c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_n$，令 $A=[{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2\cdots {\mathbf{v}}_n]$，$\mathbf{x}=[c_1{c}_2\cdots c_n{]}^T$，则 $A\mathbf{x}$ 即为该线性组合。

c. 增广矩阵为 $[{\mathbf{a}}_1{\mathbf{a}}_2{\mathbf{a}}_3\mathbf{b}]$ 的线性方程组的解集与方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集相同，其中 $A=[{\mathbf{a}}_1{\mathbf{a}}_2{\mathbf{a}}_3]$。
True。

理由：增广矩阵 $[A\mathbf{b}]$ 的解集即为 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集。

d. 若方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 不相容，则 $\mathbf{b}$ 不属于 $A$ 的列的生成集。

True。
理由：不相容意味着 $\mathbf{b}$ 无法表示为 $A$ 列的线性组合，即 b∉Span{a1,…,an}\mathbf{b} \notin \text{Span}\{\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n\}b∈/Span{a1​,…,an​}。

e. 若增广矩阵 $[A\mathbf{b}]$ 在每一行有一个主元位置，则方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 不相容。

False。
理由：若增广矩阵最后一行是 $[0\cdots 00]$，则方程相容；仅当最后一行是 $[0\cdots 0b]$ 且 $b\ne 0$ 时才不相容。

f. 若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，它的列不生成 ${\mathbb{R}}^m$，则对 ${\mathbb{R}}^m$ 中的某个 $\mathbf{b}$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 不相容。

True。
理由：列不生成 ${\mathbb{R}}^m$ 意味着存在 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^m$ 无法表示为列的线性组合，即方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 无解。

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25.
由等式 $\left[\begin{array}{ccc}4& -3& 1\\ 5& -2& 5\\ -6& 2& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-7\\ -3\\ 10\end{array}\right]$，求出标量 $c_1,c_2,c_3$（不用行变换），使得：
$$\left[\begin{array}{c}-7\\ -3\\ 10\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ -6\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 2\end{array}\right]+c_3\left[\begin{array}{c}1\\ 5\\ 3\end{array}\right]$$

解答：

• 矩阵-向量乘积 $A\mathbf{x}$ 的几何意义是：$\mathbf{x}$ 的分量是矩阵列向量的线性组合系数。

• 给定 $A=\left[\begin{array}{ccc}4& -3& 1\\ 5& -2& 5\\ -6& 2& -3\end{array}\right]$，$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 2\end{array}\right]$，则：
  $$A\mathbf{x}=(-3)\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ -6\end{array}\right]+(-1)\left[\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 2\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{c}1\\ 5\\ 3\end{array}\right]$$

• 对比目标等式，直接得：
  $$c_1=-3,c_2=-1,c_3=2$$

结论：
$c_1=-3$，$c_2=-1$，$c_3=2$。

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26.
设 $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}7\\ 2\\ 5\end{array}\right]$, $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\end{array}\right]$, $\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}6\\ 1\\ 0\end{array}\right]$，已知 $3\mathbf{u}-5\mathbf{v}-\mathbf{w}=0$，解方程：
$$\left[\begin{array}{cc}7& 3\\ 2& 1\\ 5& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 1\\ 0\end{array}\right]$$

解答：

• 已知条件 $3\mathbf{u}-5\mathbf{v}-\mathbf{w}=0$ 可重写为：
  $$3\mathbf{u}-5\mathbf{v}=\mathbf{w}$$

• 目标方程可表示为：
  $$x_1\mathbf{u}+x_2\mathbf{v}=\mathbf{w}$$

• 对比两式，直接得解：
  $$x_1=3,x_2=-5$$

结论：
解为 $x_1=3$，$x_2=-5$。

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27.
设 ${\mathbf{q}}_1,{\mathbf{q}}_2,{\mathbf{q}}_3$ 和 $\mathbf{v}$ 是 ${\mathbb{R}}^5$ 中的向量，$x_1,x_2,x_3$ 是标量，将向量方程 $x_1{\mathbf{q}}_1+x_2{\mathbf{q}}_2+x_3{\mathbf{q}}_3=\mathbf{v}$ 写成一个矩阵方程。

解答：

• 构造矩阵 $Q$，其列为 ${\mathbf{q}}_1,{\mathbf{q}}_2,{\mathbf{q}}_3$：
  $$Q=[{\mathbf{q}}_1{\mathbf{q}}_2{\mathbf{q}}_3]$$

• 构造变量向量 $\mathbf{x}$：
  $$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$$

• 矩阵方程为：
  $$Q\mathbf{x}=\mathbf{v}$$

结论：
向量方程 $x_1{\mathbf{q}}_1+x_2{\mathbf{q}}_2+x_3{\mathbf{q}}_3=\mathbf{v}$ 等价于矩阵方程 $[{\mathbf{q}}_1{\mathbf{q}}_2{\mathbf{q}}_3]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\mathbf{v}$。

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28.
使用符号 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots$ 表示向量，$c_1,c_2,\dots$ 表示标量，重写矩阵方程为向量方程：
$$\left[\begin{array}{ccccc}-3& 5& -4& 9& 7\\ 5& 8& 1& -2& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 2\\ -1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8\\ -1\end{array}\right]$$

解答：

• 矩阵的列向量：
  $${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-3\\ 5\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}-4\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_4=\left[\begin{array}{c}9\\ -2\end{array}\right],{\mathbf{v}}_5=\left[\begin{array}{c}7\\ -4\end{array}\right]$$

• 系数向量：
  $$c_1=-3,c_2=1,c_3=2,c_4=-1,c_5=2$$

• 向量方程：
  $$-3{\mathbf{v}}_1+1{\mathbf{v}}_2+2{\mathbf{v}}_3-{\mathbf{v}}_4+2{\mathbf{v}}_5=\left[\begin{array}{c}8\\ -1\end{array}\right]$$

结论：
向量方程为 $-3{\mathbf{v}}_1+2{\mathbf{v}}_2+4{\mathbf{v}}_3-{\mathbf{v}}_4+2{\mathbf{v}}_5={\mathbf{v}}_6$，其中 ${\mathbf{v}}_6=\left[\begin{array}{c}8\\ -1\end{array}\right]$。

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29.
构造一个 $3\times 3$ 非阶梯形矩阵，使得矩阵的列可以生成 ${\mathbb{R}}^3$。说明你构造的矩阵具有这种性质。

解答：

• 构造矩阵：
  $$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$$

• 非阶梯形验证：

  • 第一列下方有两个非零元素（1, 0），不符合阶梯形定义（每行第一个非零元素下方必须全为零）。

• 列生成 ${\mathbb{R}}^3$ 验证：

  • 计算行列式：
    $$\det (A)=1(0\cdot 1-1\cdot 1)-1(1\cdot 1-1\cdot 0)+0(1\cdot 1-0\cdot 0)=-1-1=-2\ne 0$$

  • 行列式非零，表明 $A$ 满秩（秩为 3），因此其列向量线性无关，可生成 ${\mathbb{R}}^3$。

结论：
矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$ 满足条件。

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30.
构造一个 $3\times 3$ 非阶梯形矩阵，使得矩阵的列不可以生成 ${\mathbb{R}}^3$。说明你构造的矩阵具有这种性质。

解答：

• 构造矩阵：
  $$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

• 非阶梯形验证：

  • 第一列下方有两个非零元素（1, 0），不符合阶梯形定义。

• 列不能生成 ${\mathbb{R}}^3$ 验证：

  • 观察列向量：
    $${\mathbf{a}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{a}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{a}}_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

  • ${\mathbf{a}}_1$ 和 ${\mathbf{a}}_2$ 线性相关（${\mathbf{a}}_1={\mathbf{a}}_2$），因此列空间维度最多为 2。

  • 例如，向量 $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ 无法表示为 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3$ 的线性组合。

结论：
矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ 满足条件。

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31.
设 $A$ 是 $3\times 2$ 矩阵，说明为什么方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 不可能对 ${\mathbb{R}}^3$ 中所有向量 $\mathbf{b}$ 都是相容的。推广你的结论到任意大小为任意行数多于列数的矩阵 $A$。

解答：

• $A$ 是 $3\times 2$ 矩阵，有 3 行 2 列，其列空间维度最多为 2。
• ${\mathbb{R}}^3$ 是 3 维空间，而 2 维子空间无法覆盖整个 3 维空间。
• 因此，存在 ${\mathbb{R}}^3$ 中的向量 $\mathbf{b}$ 不能表示为 $A$ 的列向量的线性组合，即方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 不相容。

推广：

• 对任意 $m\times n$ 矩阵 $A$，若 $m>n$（行数多于列数），则 $A$ 的列空间维度最多为 $n$。
• ${\mathbb{R}}^m$ 是 $m$ 维空间，由于 $n<m$，列空间无法覆盖整个 ${\mathbb{R}}^m$。
• 因此，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 不可能对 ${\mathbb{R}}^m$ 中所有向量 $\mathbf{b}$ 都相*

设
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right](\text{3 行，2 列})$$

• $ A $ 的两列是：
  $${\mathbf{a}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{a}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$$

• 列空间 $ \text{Col}(A) = \text{span}{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2} $ 是 $ \mathbb{R}^3 $ 中 xy 平面（即所有形如 $ \begin{bmatrix}x\y\0\end{bmatrix} $ 的向量）。

• 这个列空间是 2 维的，而 $ \mathbb{R}^3 $ 是 3 维的。

现在取一个不在列空间中的向量，比如：
$$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

问：是否存在 $ \mathbf{x} = \begin{bmatrix}x_1\x_2\end{bmatrix} $ 使得 $ A\mathbf{x} = \mathbf{b} $？

计算：
$$A\mathbf{x}=x_1\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ 0\end{array}\right]$$

无论 $ x_1, x_2 $ 取何值，第三分量永远是 0，不可能等于 1。

所以 $ A\mathbf{x} = \mathbf{b} $ 无解！

这说明：并非所有 $ \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3 $ 都能让方程有解。

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32.
${\mathbb{R}}^4$ 中的 3 个向量能否生成整个 ${\mathbb{R}}^4$？说明理由。当 $n<m$ 时，${\mathbb{R}}^m$ 中的 $n$ 个向量能否生成 ${\mathbb{R}}^m$？

解答：

• ${\mathbb{R}}^4$ 是 4 维空间，需要至少 4 个线性无关的向量才能生成整个空间。
• 3 个向量最多张成 3 维子空间，无法覆盖整个 4 维空间。
• 结论：${\mathbb{R}}^4$ 中的 3 个向量不能生成整个 ${\mathbb{R}}^4$。

一般情况：

• 当 $n<m$ 时，${\mathbb{R}}^m$ 中的 $n$ 个向量不能生成 ${\mathbb{R}}^m$。
• 理由：$n$ 个向量张成的空间维度最多为 $n$，而 ${\mathbb{R}}^m$ 的维度为 $m>n$，因此无法覆盖整个空间。

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33.
设 $A$ 是 $4\times 3$ 矩阵，$\mathbf{b}$ 是 ${\mathbb{R}}^4$ 中的任一向量，且 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有唯一解。由此可知 $A$ 的简化阶梯形是怎样的？给出理由。

解答：

• $A$ 是 $4\times 3$ 矩阵，有 4 行 3 列。
• 方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有唯一解，意味着：
  • 方程相容（有解）
  • 无自由变量（解唯一）
• 因此，$A$ 的秩为 3（列满秩），且增广矩阵 $[A|\mathbf{b}]$ 的秩也为 3。

$A$ 的简化阶梯形：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

理由：

• 由于方程有唯一解，$A$ 必须有 3 个主元位置（对应 3 个基本变量）。
• 在 $4\times 3$ 矩阵中，前 3 行形成单位矩阵，第 4 行全为零。
• 第 4 行全为零是必要的，否则秩将小于 3，无法满足唯一解条件。

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34.
设 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，$\mathbf{b}$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的任一向量，且 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有唯一解。说明为什么 $A$ 的列一定可以生成 ${\mathbb{R}}^3$。

解答：

• $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，且 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 对任意 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^3$ 有唯一解。
• 这意味着 $A$ 是可逆矩阵（因为方程对任意 $\mathbf{b}$ 有唯一解当且仅当 $A$ 可逆）。
• 可逆矩阵的列向量线性无关，且有 3 个线性无关的向量，构成 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组基。
• 因此，$A$ 的列向量可以生成整个 ${\mathbb{R}}^3$。

补充说明：

• 更正式地，$A$ 可逆 $\Rightarrow$ $\text{rank}(A)=3$，而 ${\mathbb{R}}^3$ 的维度为 3，因此 $A$ 的列空间就是整个 ${\mathbb{R}}^3$。

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35.
设 $A$ 是 $3\times 4$ 矩阵，${\mathbf{y}}_1,{\mathbf{y}}_2$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 中的向量，$\mathbf{w}={\mathbf{y}}_1+{\mathbf{y}}_2$。对 ${\mathbb{R}}^4$ 中的向量 ${\mathbf{x}}_1$ 和 ${\mathbf{x}}_2$，${\mathbf{y}}_1=A{\mathbf{x}}_1$，${\mathbf{y}}_2=A{\mathbf{x}}_2$。为什么方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{w}$ 相容？

解答：

• 已知 ${\mathbf{y}}_1=A{\mathbf{x}}_1$ 和 ${\mathbf{y}}_2=A{\mathbf{x}}_2$。

• 则：
  $$\mathbf{w}={\mathbf{y}}_1+{\mathbf{y}}_2=A{\mathbf{x}}_1+A{\mathbf{x}}_2=A({\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2)$$

• 令 $\mathbf{x}={\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2$，则 $A\mathbf{x}=\mathbf{w}$。

• 因此，$\mathbf{x}$ 是方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{w}$ 的一个解。

结论：
方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{w}$ 相容，因为存在解 $\mathbf{x}={\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2$。

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36.
设 $A$ 是 $5\times 3$ 矩阵，$\mathbf{y}$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的向量，$\mathbf{z}$ 是 ${\mathbb{R}}^5$ 中的向量。设 $A\mathbf{y}=\mathbf{z}$。什么事实使你断定方程 $A\mathbf{x}=4\mathbf{z}$ 是相容的？

解答：

• 已知 $A\mathbf{y}=\mathbf{z}$。

• 则：
  $$A(4\mathbf{y})=4A\mathbf{y}=4\mathbf{z}$$

• 令 $\mathbf{x}=4\mathbf{y}$，则 $A\mathbf{x}=4\mathbf{z}$。

• 因此，$\mathbf{x}$ 是方程 $A\mathbf{x}=4\mathbf{z}$ 的一个解。

结论：
方程 $A\mathbf{x}=4\mathbf{z}$ 相容，因为存在解 $\mathbf{x}=4\mathbf{y}$。