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RSS订阅原创 线代第五章线性方程组第六节：内积与正交
对称性：(α,β)=(β,α)（交换律）；线性性：(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)（对向量加法线性）；齐次性：(kα,β)=k(α,β)（对数乘线性）；正定性：(α,α)≥0，且 (α,α)=0⟺α=0（零向量）。由内积定义向量 α 的 “长度”（也称若 n 维向量 α 与 β 的内积为 0，即 (α,β)=0，则称 α 与 β正交（垂直），记为 α⊥β。每个向量非零：αi=0（i=1,...,s）；任意两个向量正交：(αi,αj)=0（i=j）；则称该向量组为正交向量组。
2025-12-31 18:31:00
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原创 线代第五章线性方程组第四节：相似矩阵的概念和性质
仅针对n 阶方阵讨论（非方阵无相似关系），涉及的转化矩阵为可逆 n 阶方阵（记为P，满足P−1存在）。设A、B为 n 阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得：则称矩阵A与B相似，记为A∼B；可逆矩阵P称为相似变换矩阵。
2025-12-31 18:06:43
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原创 线代第五章线性方程组第三节：特征值与特征向量的性质
特征值与特征向量的性质是线性代数的核心考点，也是矩阵对角化、二次型化简、AI 特征提取（如 PCA）的理论基础。以下性质按 “” 分类，结合推导逻辑和示例，帮你彻底理解并灵活运用。
2025-12-31 17:54:56
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原创 线代第五章线性方程组第二节：特征值与特征向量的求法
特征值与特征向量的求法是，核心围绕 “求解特征方程得特征值，解齐次线性方程组得特征向量”，适用于所有 n 阶方阵。以下是详细步骤、示例、技巧及易错点，确保覆盖不同维度（2 阶、3 阶）和含参数场景。
2025-12-31 17:16:36
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原创 线代第五章线性方程组第一节：特征值和特征向量的定义与关系
设 A 是 n 阶方阵，若存在一个数 λ和一个非零 n 维列向量 x，满足Ax=λxλ 为方阵 A 的一个特征值（或本征值）；非零向量 x 为方阵 A 对应于特征值 λ 的一个特征向量（或本征向量）。
2025-12-27 14:50:58
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原创 线代第四章线性方程组第四节：方程组解的结构和求解
齐次方程组必有解（至少零解），非齐次方程组有解的充要条件是 r(A)=r(A)；解的 “自由度” 由 n−r(A) 决定：该值为 0 时只有唯一解，大于 0 时有无穷多解；求解的核心是初等行变换化行最简形，通过自由未知数构造基础解系 / 特解。
2025-12-27 14:19:19
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原创 线代第四章线性方程组第一节第二节：线性方程组和线性方程组有解判断
含 m 个方程、n 个未知数 x1,x2,…把方程组的系数提取出来组成矩阵A。
2025-12-26 15:09:49
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原创 线代第三章向量第三节：向量组的秩
给定一个向量组 α1,α2,…,αs（向量可以是 n 维列向量或行向量），如果它的一个部分组 αi1,αi2,…线性无关：该部分组中没有任何一个向量可以由其余向量线性表示。极大性：从原向量组中任意添加一个剩余向量到该部分组，新的向量组都会变成线性相关。则称这个部分组为原向量组的极大线性无关组。一个向量组的极大线性无关组不唯一。例如向量组 α1=(1,0),α2=(0,1),α3=(1,1)，{α1,α2} 和 {α1,α3} 都是它的极大线性无关组。仅含零向量的向量组。
2025-12-26 14:29:10
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原创 线代第三章向量第三节：向量间的线性关系二
设 α1,α2,…,αs 是一组 n 维向量，考虑齐次线性组合其中 k1,k2,…,ks 是一组实数。
2025-12-26 09:35:00
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原创 线代第三章向量第二节：向量间的线性关系一
设 α1,α2,…,αs 是一组 n 维向量，k1,k2,…,ks 是一组实数，则称向量为向量组 α1,α2,…,αs 的一个线性组合，其中 k1,k2,…,ks 称为该线性组合的系数。
2025-12-25 21:59:25
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原创 线代第三章向量第一节：n维向量及其运算
由 n 个实数a1,a2,…,an 组成的有序数组，称为n 维实向量前者称为n 维列向量（默认形式，与矩阵运算兼容性更好）；后者称为n 维行向量（列向量的转置）；ai 称为向量 α 的第 i 个分量（或坐标）。
2025-12-25 21:46:26
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原创 线代第二章矩阵第九、十节：初等变换、矩阵的标准形、阶梯形与行最简阶梯形、初等矩阵
设 A 是 m×n 矩阵，以下三种操作称为矩阵的初等行变换换行变换：交换矩阵的任意两行，记作（交换第 i,j 行）。数乘变换：用一个非零常数 k乘以矩阵的某一行，记作。倍加变换：将某一行的 k 倍加到另一行上，记作（第 j 行的 k 倍加到第 i 行）。初等列变换的定义完全类似，只需将 “行” 换成 “列”，记作矩阵的零行（所有元素都为 0 的行）全部位于非零行的下方；各非零行的首非零元（从左到右第一个不为 0 的元素，也称主元）的列标，随着行标的增大而严格增大。各非零行的。
2025-12-25 16:52:03
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原创 线代第二章矩阵第八节逆矩阵、解矩阵方程
对于 n 阶方阵 A，若存在一个 n 阶方阵 B，满足其中 E 是 n 阶单位矩阵，则称 A可逆（或非奇异矩阵），并称 B 是 A 的逆矩阵，记作。注：可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。
2025-12-25 15:34:14
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原创 线代第二章矩阵第五、六、七节矩阵的转置、方阵的行列式、方阵的伴随矩阵
对于一个 m×n 矩阵，将其行与列互换后得到的 n×m 矩阵，称为矩阵 A 的转置矩阵，记作。只有方阵（行数 = 列数）才有行列式。对于 n 阶方阵，其行列式记作 ∣A∣ 或 det(A)，是一个标量值（实数或复数），由所有元素的特定组合运算得到。对于 n 阶方阵 A=(aij)，将其每个元素 aij 替换为对应的代数余子式 Aij，再将得到的矩阵转置，所得到的 n 阶方阵称为 A 的伴随矩阵，记作 A∗（或 adj(A)）。关键注意。
2025-12-25 14:41:30
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原创 线代第二章矩阵第四课：方阵的幂
只有 n 阶方阵（行数和列数都为 n 的矩阵）才能定义幂运算。对于 n 阶方阵A和非负整数k，方阵的幂定义如下：。
2025-12-12 14:30:47
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原创 线代第二章矩阵第三课：矩阵乘法
设，乘积，其中第 i 行第 k 列的元素的计算公式为：通俗理解：C 的元素 是 A 的第 i 行与 B 的第 k 列对应元素相乘后求和（即 “行乘列” 法则）。
2025-12-09 18:07:34
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原创 线代第二章矩阵第二课：矩阵的加法、减法、数乘
矩阵的加法、减法运算，仅对同型矩阵有效。同型矩阵：两个矩阵的行数相等且列数相等，例如 和是同型矩阵； 和不是同型矩阵。设同型矩阵，则矩阵 A 与 B 的和记作 A+B，定义为：即对应位置的元素相加，得到一个新的 m×n 矩阵。矩阵减法是加法的逆运算，先定义负矩阵：对矩阵，其负矩阵为即每个元素取相反数。同型矩阵 A 与 B 的差记作 A−B，定义为：即对应位置的元素相减。设 k 是任意常数（实数或复数），矩阵，则数 k 与矩阵 A 的乘积记作，定义为：即。
2025-12-09 16:24:11
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原创 线代第一章行列式第八课：克莱姆法则（Cramer法则）
设 4 阶线性方程组为：是未知数；是系数； 是常数项。2. 关键行列式定义系数行列式：由方程组系数构成的 4 阶行列式，记为 D：替换行列式：将 D 的第 j 列（系数）替换为常数项，得到的 n 阶行列式记为克莱姆法则的证明核心依赖行列式的按行 / 列展开性质构造候选解，验证其满足原方程组（存在性）；利用齐次方程组的性质证明解唯一（唯一性）；结合前两步，确定唯一解的形式。该法则的意义在于：当。
2025-12-08 16:28:39
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原创 线代第一章行列式第六课：行列式按多行(列)展开
该定理的本质是将高阶行列式的计算，分解为多个低阶子式与代数余子式的乘积之和，简化了复杂行列式的运算。在 n 阶行列式 D 中，任意选取 k 行（1≤k≤n−1），由这 k 行元素组成的。，再求和，结果等于行列式 D 的值。
2025-12-08 11:04:04
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原创 线代第一章行列式第五课：行列式按一行（列）展开
剩余元素构成的 n−1 阶行列式，称为元素。在余子式的基础上，再乘以符号因子。，得到的结果称为元素。在 n 阶行列式中，
2025-12-05 16:49:37
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原创 线代第一章第四课：行列式的性质
把上面行列式按照主对角线翻转后结果如下，使用来表示：转置后，在转置行列地位相同，对行性质，队列性质现有一个上三角行列式如下转置后为下三角行列式所以用k乘以D的某一行元素，等于用k乘以D如下有一个4阶行列式，结果是主对角线相乘将第一行元素都乘以 k，第一行第一列为1，其他项目均为0，则行列式如下：所以如果有n行都乘以k，则交换两行(列)行列式，D值符号改变如下有一个3阶行列式，按行展开，依据列标排列统计逆序数，1后面为0，2后面为0，3后面为0， 则逆序数为0+0+0。
2025-12-03 13:51:42
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原创 线代第一章第三课：n阶行列式
按行展开，每行每列取值，只有两种情况，其他均为零，按列标统计逆序数，根据逆序数的奇偶性判断符号的正负性，最后计算结果为0。按行展开，其他项均为零，所以行列式的结果为主对角线的乘积，符号取列标排列的逆序数。按行拆分，每行取一个，总共有 3！)，则拆分后的表达式为。
2025-12-02 18:39:23
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原创 线性代数第一章第二课： 排列与逆序
4的逆序数为2，每个元素都需要统计他的逆序数，1后面都比他大则逆序数为0，3后面有一个2，则3的逆序数为1，由 1,2,3,4......,n组成的一个有序数组，叫做一个n级排列（比如：1432 , 4 在3的前面，那么4跟3就构成了一个逆序，错误示例：5,6,1,2,3 这不是一个6级排列，比如：5,6,1,2,4,3 这算一个6级排列。一个n级排列，计算他的逆序数为。
2025-12-02 10:37:10
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原创 线性代数第一章第一课： 二阶三阶行列式
这样的符号把他称作行列式(此处为二阶行列式)依据x和y的值引出一个新的计算符号，行列式。， 消掉x，则y为 y=通过消元法，消掉y，x为 x=， x的结果为对角线相乘。一个等式左右两边同时乘以9。第二个等式两边同时乘以4。
2025-12-01 22:54:51
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原创 Redis 集群
由于数据量过大单个Master复制集难以承担，因此需要对多个复制集进行集群，形成水平扩展每个复制集只负责存储整个数据集的一部分，这就是Redis的集群，其作用是提供在多个Redis节点间共享数据的程序集。
2023-09-04 15:56:00
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原创 Redis 集群环境案例安装步骤
redis-cli -a 密码 --cluster reshard 192.168.111.175:6381。命令：redis-cli -a 密码 --cluster del-node ip:端口 6387节点ID。//注意，注意，注意自己的真实IP地址 //注意，注意，注意自己的真实IP地址。redis-cli -a 密码 --cluster check 真实ip地址:6381。redis-cli -a 密码 --cluster check 真实ip地址:6381。
2023-09-04 15:29:34
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原创 Redis 哨兵（sentinel）
因为有的时候，某个sentinel节点可能因为自身网络原因，导致无法连接master，而此时master并没有出现故障，所以，这就需要多个sentinel都一致认为该master有问题，才可以进行下一步操作，这就保证了公平性和高可用。表示允许并行同步的slave个数，当Master挂了后，哨兵会选出新的Master，此时，剩余的slave会向新的master发起同步数据。2) 将之前已下线的老master设置为新选出的新master的从节点，当老master重新上线后，它会成为新master的从节点。
2023-09-02 13:30:42
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原创 Redis 复制(replica)
由于所有的写操作都是先在Master上操作，然后同步更新到Slave上，所以从Master同步到Slave机器有一定的延迟，当系统很繁忙的时候，延迟问题会更加严重，Slave机器数量的增加也会使这个问题更加严重。1. Aslave可以是下个slave的master，slave同样可以接收其他slaves的连接和同步请求，那么该slave作为了链条中下一个的master可以有效减轻主master的写压力。Y，首次一锅端，后续跟随，master写，slave跟。从机不动，原地待命，从机数据可以正常使用；
2023-08-31 15:37:51
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原创 Redis 事务
开启: 以MULTI开始一个事务入队: 将多个命令入队到事务中，接到这些命令并不会立即执行而是放到等待执行的事务队列里面执行: 由EXEC命令触发事务。
2023-08-29 18:27:38
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原创 Redis 持久化
官网RDB（Redis 数据库）：RDB 持久性以指定的时间间隔执行数据集的时间点快照。1. 以日志的形式来记录每个写操作，将Redis执行过的所有写指令记录下来(读操作不记录),只许追加文件但不可以改写文件，redis启动之初会读取该文件重新构建数据，换言之，redis重启的话就根据日志文件的内容将写指令从前到后执行一次以完成数据的恢复工作2. 默认情况下，redis是没有开启AOF(append only file)的开启AOF功能需要设置配置: appendonly yes1. 问题可否共存。
2023-08-29 14:07:58
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原创 Redis 10 大数据类型
1. which 101. redis字符串2. redis 列表3. redis哈希表4. redis集合5. redis有序集合6. redis地理空间7. redis基数统计8. redis位图9. redis位域10. redis流2. 获取redis常见操作指令官网英文：https://redis.io/commands官网中文：https://www.redis.cn/commands.html3. redis键（key）3
2023-08-27 17:43:59
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原创 Redis7安装
gcc是linux下的一个编译程序，是C程序的编译工具。GCC(GNU Compiler Collection) 是 GNU(GNU's Not Unix) 计划提供的编译器家族，它能够支持 C, C++, Objective-C, Fortran, Java 和 Ada 等等程序设计语言前端，同时能够运行在 x86, x86-64, IA-64, PowerPC, SPARC和Alpha 等等几乎目前所有的硬件平台上。
2023-08-26 14:07:37
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原创 Redis7之介绍(一)
英文文档中午文档1. 新特性2. 部分新特性总览新增命令listpack替代ziplist底层性能提升(和编码关系不大)
2023-08-26 10:30:31
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原创 Docker容器监控之 CAdvisor+InfluxDB+Granfana
1. 原命令通过docker stats命令可以很方便的看到当前宿主机上所有容器的CPU,内存以及网络流量等数据，一般小公司够用了。。。。但是，docker stats统计结果只能是当前宿主机的全部容器，数据资料是实时的，没有地方存储、没有健康指标过线预警等功能2. 是什么1. 一句话CAdvisor监控收集+InfluxDB存储数据+Granfana展示图表2. CAvisor3. InfluxDB4. Granfana
2023-08-24 15:55:23
379
原创 Docker 轻量级可视化工具Portainer
1. 是什么Portainer 是一款轻量级的应用，它提供了图形化界面，用于方便地管理Docker环境，包括单机环境和集群环境。2. 安装2.1 官网https://www.protainer.io/https://docs.portainer.io/ce-2.9/start/install/server/docker/linux2.2 步骤2.2.1 docker命令安装 docker run -d -p 8000:8000 -p 9000:9000 --n
2023-08-24 15:00:16
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