线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章 线性代数中的线性方程组 1.1 线性方程组(1)

第一章 线性代数中的线性方程组

1.1 线性方程组

练习题

用语言叙述每个方程组下一步应做的初等行变换（a中可能有不止一个答案）

a.
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+4x_2-2x_3+8x_4=12\\ x_2-7x_3+2x_4=-4\\ 5x_3-x_4=7\\ x_3+3x_4=-5\end{array}$$

a. 手工计算时，应将方程3与方程4对换；或将方程3乘以 $\frac{1}{5}$；或将方程4化为它与方程3的 $-\frac{1}{5}$ 倍的和（注意：不要优先用方程2中的 $x_2$ 项消去方程1中的 $4x_2$，需先确保 $x_1,x_2,x_3$ 项已从前两个方程中消去）。

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-3x_2+5x_3-2x_4=0\\ x_2+8x_3=-4\\ 2x_3=3\\ x_4=1\end{array}$$

b. 方程组已是三角形结构。下一步应将方程4的2倍加到方程1上（后续再将方程3乘以 $\frac{1}{2}$ 并消去其他 $x_3$ 项）。

---

2. 某线性方程组的增广矩阵已由行变换化为以下形式。确定方程组是否相容：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 5& 2& -6\\ 0& 4& -7& 2\\ 0& 0& 5& 0\end{array}\right]$$

对应增广矩阵的方程组为：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+5x_2+2x_3=-6\\ 4x_2-7x_3=2\\ 5x_3=0\end{array}$$
由第三个方程得 $x_3=0$，代入前两个方程可唯一确定 $x_1,x_2$。方程组相容且有唯一解。

---

3. $(3,4,-2)$ 是否为下列方程组的解？

$$\{\begin{array}{l}5x_1-x_2+2x_3=7\\ -2x_1+6x_2+9x_3=0\\ -7x_1+5x_2-3x_3=-7\end{array}$$

3. 答案

将 $(3,4,-2)$ 代入方程组验证：

• 第一个方程：$5(3)-4+2(-2)=15-4-4=7$（满足）
• 第二个方程：$-2(3)+6(4)+9(-2)=-6+24-18=0$（满足）
• 第三个方程：$-7(3)+5(4)-3(-2)=-21+20+6=5\ne -7$（不满足）

$(3,4,-2)$ 不是方程组的解。

---

4 . 当 $h$ 和 $k$ 取何值时，下列方程组相容？
$$\{\begin{array}{l}2x_1-x_2=h\\ -6x_1+3x_2=k\end{array}$$

将第二个方程替换为“原第二个方程 + 3×第一个方程”，得：
$$\{\begin{array}{l}2x_1-x_2=h\\ 0=k+3h\end{array}$$
若 $k+3h\ne 0$，方程组无解；若 $k+3h=0$，方程组有解。
当 $k=-3h$ 时，方程组相容。

习题 1.1

1.
求解线性方程组：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+5x_2=7\\ -2x_1-7x_2=-5\end{array}\text{增广矩阵：}\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 7\\ -2& -7& -5\end{array}\right]$$

对增广矩阵施行初等行变换：

1. 将第二行替换为 $R_2+2R_1$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 7\\ 0& 3& 9\end{array}\right]$$

2. 将第二行缩放为 $\frac{1}{3}{R}_2$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 7\\ 0& 1& 3\end{array}\right]$$

3. 将第一行替换为 $R_1-5R_2$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -8\\ 0& 1& 3\end{array}\right]$$

由行最简形得解：$x_1=-8$，$x_2=3$。
方程组有唯一解 $(-8,3)$。

---

2.
求解线性方程组：
$$\{\begin{array}{l}2x_1+4x_2=-4\\ 5x_1+7x_2=11\end{array}\text{增广矩阵：}\left[\begin{array}{ccc}2& 4& -4\\ 5& 7& 11\end{array}\right]$$

对增广矩阵施行初等行变换：

1. 将第一行缩放为 $\frac{1}{2}{R}_1$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 5& 7& 11\end{array}\right]$$

2. 将第二行替换为 $R_2-5R_1$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 0& -3& 21\end{array}\right]$$

3. 将第二行缩放为 $-\frac{1}{3}{R}_2$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 0& 1& -7\end{array}\right]$$

4. 将第一行替换为 $R_1-2R_2$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 12\\ 0& 1& -7\end{array}\right]$$

由行最简形得解：$x_1=12$，$x_2=-7$。
方程组有唯一解 $(12,-7)$。

---

3.
求直线 $x_1+5x_2=7$ 与 $x_1-2x_2=-2$ 的交点 $(x_1,x_2)$。
增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 7\\ 1& -2& -2\end{array}\right]$$

对增广矩阵施行初等行变换：

1. 将第二行替换为 $R_2-R_1$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 7\\ 0& -7& -9\end{array}\right]$$

2. 将第二行缩放为 $-\frac{1}{7}{R}_2$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 7\\ 0& 1& \frac{9}{7}\end{array}\right]$$

3. 将第一行替换为 $R_1-5R_2$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{4}{7}\\ 0& 1& \frac{9}{7}\end{array}\right]$$

由行最简形得交点坐标：$x_1=\frac{4}{7}$，$x_2=\frac{9}{7}$。
交点为 $\left(\frac{4}{7},\frac{9}{7}\right)$。

---

4.
求直线 $x_1-5x_2=1$ 与 $3x_1-7x_2=5$ 的交点 $(x_1,x_2)$。
增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& -5& 1\\ 3& -7& 5\end{array}\right]$$

对增广矩阵施行初等行变换：

1. 将第二行替换为 $R_2-3R_1$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& -5& 1\\ 0& 8& 2\end{array}\right]$$

2. 将第二行缩放为 $\frac{1}{8}{R}_2$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& -5& 1\\ 0& 1& \frac{1}{4}\end{array}\right]$$

3. 将第一行替换为 $R_1+5R_2$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{9}{4}\\ 0& 1& \frac{1}{4}\end{array}\right]$$

由行最简形得交点坐标：$x_1=\frac{9}{4}$，$x_2=\frac{1}{4}$。
交点为 $\left(\frac{9}{4},\frac{1}{4}\right)$。

---

5.
某线性方程组的增广矩阵为：
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& -4& 5& 0& 7\\ 0& 1& -3& 0& 6\\ 0& 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 0& 1& -5\end{array}\right]$$
说明下一步应进行的初等行变换。

当前矩阵为行阶梯形，主元位置已明确。下一步应用第三行消去前两行中的 $x_3$ 项：

• 将第二行替换为 $R_2+3R_3$（消去第二行的 $x_3$ 项）；
• 将第一行替换为 $R_1-5R_3$（消去第一行的 $x_3$ 项）。
  通过上述变换可进一步化为行最简形。

---

6.
某线性方程组的增广矩阵为：
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& -6& 4& 0& -1\\ 0& 2& -7& 0& 4\\ 0& 0& 1& 2& -3\\ 0& 0& 0& 3& 6\end{array}\right]$$
说明下一步应进行的初等行变换。

当前矩阵为行阶梯形，主元位置已明确。下一步应：

1. 将第四行缩放为 $\frac{1}{3}{R}_4$（使主元为 1）；
2. 将第三行替换为 $R_3-2R_4$（消去第三行中的 $x_4$ 项）。
   完成上述变换后，可继续用 $x_3$ 消去前两行中的 $x_3$ 项。

---

7.
增广矩阵为：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 7& 3& -4\\ 0& 1& -1& 3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& -2\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 交换第三行与第四行（$R_3\leftrightarrow R_4$）：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 7& 3& -4\\ 0& 1& -1& 3\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2. 观察第四行：对应方程 $0x_1+0x_2+0x_3=1$，即 $0=1$，为矛盾方程。

结论：
系统包含矛盾方程，方程组无解，解集为空集。

---

8.
增广矩阵为：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& -4& 9& 0\\ 0& 1& 7& 0\\ 0& 0& 2& 0\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第三行缩放为 $\frac{1}{2}{R}_3$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& -4& 9& 0\\ 0& 1& 7& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

2. 将第二行替换为 $R_2-7R_3$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& -4& 9& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

3. 将第一行替换为 $R_1-9R_3$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& -4& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

4. 将第一行替换为 $R_1+4R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

结论：
行最简形对应方程 $x_1=0$，$x_2=0$，$x_3=0$。
方程组有唯一解 $(0,0,0)$。

---

9.
增广矩阵为：
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& 0& -4\\ 0& 1& -3& 0& -7\\ 0& 0& 1& -3& -1\\ 0& 0& 0& 2& 4\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第四行缩放为 $\frac{1}{2}{R}_4$：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& 0& -4\\ 0& 1& -3& 0& -7\\ 0& 0& 1& -3& -1\\ 0& 0& 0& 1& 2\end{array}\right]$$

2. 将第三行替换为 $R_3+3R_4$：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& 0& -4\\ 0& 1& -3& 0& -7\\ 0& 0& 1& 0& 5\\ 0& 0& 0& 1& 2\end{array}\right]$$

3. 将第二行替换为 $R_2+3R_3$：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& 0& -4\\ 0& 1& 0& 0& 8\\ 0& 0& 1& 0& 5\\ 0& 0& 0& 1& 2\end{array}\right]$$

4. 将第一行替换为 $R_1+R_2$：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 4\\ 0& 1& 0& 0& 8\\ 0& 0& 1& 0& 5\\ 0& 0& 0& 1& 2\end{array}\right]$$

结论：
行最简形对应方程 $x_1=4$，$x_2=8$，$x_3=5$，$x_4=2$。
方程组有唯一解 $(4,8,5,2)$。

---

10.
增广矩阵为（第三行常数项为 0）：
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& -2& 0& 3& -2\\ 0& 1& 0& -4& 7\\ 0& 0& 1& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1& -3\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第二行替换为 $R_2+4R_4$（消去 $x_4$ 项）：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& -2& 0& 3& -2\\ 0& 1& 0& 0& -5\\ 0& 0& 1& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1& -3\end{array}\right]$$

2. 将第三行替换为 $R_3-2R_4$（消去 $x_4$ 项）：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& -2& 0& 3& -2\\ 0& 1& 0& 0& -5\\ 0& 0& 1& 0& 6\\ 0& 0& 0& 1& -3\end{array}\right]$$

3. 将第一行替换为 $R_1-3R_4$（消去 $x_4$ 项）：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& -2& 0& 0& 7\\ 0& 1& 0& 0& -5\\ 0& 0& 1& 0& 6\\ 0& 0& 0& 1& -3\end{array}\right]$$

4. 将第一行替换为 $R_1+2R_2$（消去 $x_2$ 项）：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& -3\\ 0& 1& 0& 0& -5\\ 0& 0& 1& 0& 6\\ 0& 0& 0& 1& -3\end{array}\right]$$

结论：
行最简形对应方程：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=-3\\ x_2=-5\\ x_3=6\\ x_4=-3\end{array}$$
方程组有唯一解 $(-3,-5,6,-3)$。

---

11.
求解线性方程组：
$$\{\begin{array}{l}{x}_2+4x_3=-5\\ x_1+3x_2+5x_3=-2\\ 3x_1+7x_2+7x_3=6\end{array}$$

增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 4& -5\\ 1& 3& 5& -2\\ 3& 7& 7& 6\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 交换第一行与第二行（$R_1\leftrightarrow R_2$）：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -2\\ 0& 1& 4& -5\\ 3& 7& 7& 6\end{array}\right]$$

2. 将第三行替换为 $R_3+(-3)R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -2\\ 0& 1& 4& -5\\ 0& -2& -8& 12\end{array}\right]$$

3. 将第三行替换为 $R_3+(2)R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -2\\ 0& 1& 4& -5\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$$

矛盾分析：
第三行对应方程 $0x_1+0x_2+0x_3=2$，即 $0=2$，为矛盾方程。
结论：方程组无解，解集为空集。

---

12.
求解线性方程组：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1-3x_2+4x_3=-4\\ 3x_1-7x_2+7x_3=-8\\ -4x_1+6x_2-x_3=7\end{array}$$

增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& -3& 4& -4\\ 3& -7& 7& -8\\ -4& 6& -1& 7\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第二行替换为 $R_2+(-3)R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& -3& 4& -4\\ 0& 2& -5& 4\\ -4& 6& -1& 7\end{array}\right]$$

2. 将第三行替换为 $R_3+(4)R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& -3& 4& -4\\ 0& 2& -5& 4\\ 0& -6& 15& -9\end{array}\right]$$

3. 将第三行替换为 $R_3+(3)R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& -3& 4& -4\\ 0& 2& -5& 4\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right]$$

矛盾分析：
第三行对应方程 $0x_1+0x_2+0x_3=3$，即 $0=3$，为矛盾方程。
结论：方程组无解，解集为空集。

---

13.
求解线性方程组：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1-3x_3=8\\ 2x_1+2x_2+9x_3=7\\ x_2+5x_3=-2\end{array}$$

增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -3& 8\\ 2& 2& 9& 7\\ 0& 1& 5& -2\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第二行替换为 $R_2-2R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -3& 8\\ 0& 2& 15& -9\\ 0& 1& 5& -2\end{array}\right]$$

2. 交换第二行与第三行（$R_2\leftrightarrow R_3$）：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -3& 8\\ 0& 1& 5& -2\\ 0& 2& 15& -9\end{array}\right]$$

3. 将第三行替换为 $R_3-2R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -3& 8\\ 0& 1& 5& -2\\ 0& 0& 5& -5\end{array}\right]$$

4. 将第三行缩放为 $\frac{1}{5}{R}_3$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -3& 8\\ 0& 1& 5& -2\\ 0& 0& 1& -1\end{array}\right]$$

5. 将第二行替换为 $R_2-5R_3$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -3& 8\\ 0& 1& 0& 3\\ 0& 0& 1& -1\end{array}\right]$$

6. 将第一行替换为 $R_1+3R_3$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 5\\ 0& 1& 0& 3\\ 0& 0& 1& -1\end{array}\right]$$

结论：
行最简形对应方程：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=5\\ x_2=3\\ x_3=-1\end{array}$$
方程组有唯一解 $(5,3,-1)$。

---

14.
求解线性方程组：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1-3x_2=5\\ -x_1+x_2+5x_3=2\\ x_2+x_3=0\end{array}$$

增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& -3& 0& 5\\ -1& 1& 5& 2\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第二行替换为 $R_2+R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& -3& 0& 5\\ 0& -2& 5& 7\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right]$$

2. 交换第二行与第三行（$R_2\leftrightarrow R_3$）：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& -3& 0& 5\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& -2& 5& 7\end{array}\right]$$

3. 将第三行替换为 $R_3+2R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& -3& 0& 5\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 7& 7\end{array}\right]$$

4. 将第三行缩放为 $\frac{1}{7}{R}_3$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& -3& 0& 5\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right]$$

5. 将第二行替换为 $R_2-R_3$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& -3& 0& 5\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right]$$

6. 将第一行替换为 $R_1+3R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right]$$

结论：
行最简形对应方程：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=2\\ x_2=-1\\ x_3=1\end{array}$$
方程组有唯一解 $(2,-1,1)$。

---

15.
确定方程组是否相容：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_3=2\\ x_2-3x_4=3\\ -2x_2+3x_3+2x_4=1\\ 3x_1+7x_4=-5\end{array}$$

增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& 0& 2\\ 0& 1& 0& -3& 3\\ 0& -2& 3& 2& 1\\ 3& 0& 0& 7& -5\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第四行替换为 $R_4+(-3)R_1$：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& 0& 2\\ 0& 1& 0& -3& 3\\ 0& -2& 3& 2& 1\\ 0& 0& -9& 7& -11\end{array}\right]$$

2. 将第三行替换为 $R_3+2R_2$：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& 0& 2\\ 0& 1& 0& -3& 3\\ 0& 0& 3& -4& 7\\ 0& 0& -9& 7& -11\end{array}\right]$$

3. 将第四行替换为 $R_4+3R_3$：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& 0& 2\\ 0& 1& 0& -3& 3\\ 0& 0& 3& -4& 7\\ 0& 0& 0& -5& 10\end{array}\right]$$

结论：
行阶梯形中无矛盾方程（如 $0=k$），且主元位置完整。
方程组相容且有唯一解。

---