线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章 线性代数中的线性方程组 1.5 线性方程组的解集(2)

21.
$\mathbf{p}=\left[\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right]$, $\mathbf{q}=\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right]$

解答：
直线 $M$ 过点 $\mathbf{p}$ 且平行于 $\mathbf{q}-\mathbf{p}$。

先求方向向量：
$$\mathbf{q}-\mathbf{p}=\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-5\\ 6\end{array}\right]$$

结论：
直线 $M$ 的参数方程为 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}-5\\ 6\end{array}\right]$，$t\in \mathbb{R}$。

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22.
$\mathbf{p}=\left[\begin{array}{c}-6\\ 3\end{array}\right]$, $\mathbf{q}=\left[\begin{array}{c}1\\ -4\end{array}\right]$

解答：
直线 $M$ 过点 $\mathbf{p}$ 且平行于 $\mathbf{q}-\mathbf{p}$。

先求方向向量：
$$\mathbf{q}-\mathbf{p}=\left[\begin{array}{c}1\\ -4\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}-6\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ -7\end{array}\right]$$

结论：
直线 $M$ 的参数方程为 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}-6\\ 3\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}7\\ -7\end{array}\right]$，$t\in \mathbb{R}$。

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23.
a. 齐次方程总是相容的。
b. 齐次方程 $A\mathbf{x}=0$ 给出它的解集的显式表达式。
c. 齐次方程 $A\mathbf{x}=0$ 当且仅当方程至少有一个自由变量时有平凡解。
d. 方程 $\mathbf{x}=\mathbf{p}+t\mathbf{v}$ 描述了一条直线，它通过 $\mathbf{v}$ 且平行于 $\mathbf{p}$。
e. 方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集是所有形如 $\mathbf{w}=\mathbf{p}+{\mathbf{v}}_s$ 的向量的集，其中 ${\mathbf{v}}_s$ 是方程 $A\mathbf{x}=0$ 的任意解。

解答：
a. 真。齐次方程总有零解 $\mathbf{x}=0$，因此总是相容的。
b. 假。$A\mathbf{x}=0$ 给出的是隐式描述，参数向量形式才是显式表达。
c. 假。齐次方程总有平凡解，有自由变量时有非平凡解（无穷多解）。
d. 假。直线通过 $\mathbf{p}$ 且平行于 $\mathbf{v}$，方向与点的位置搞反了。
e. 假。只有当方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解（即相容）时，此结论才成立。

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24.
a. 若 $\mathbf{x}$ 是 $A\mathbf{x}=0$ 的非平凡解，则 $\mathbf{x}$ 的每个元素不等于零。
b. 方程 $x=x_{2}u+x_{3}v$ ，$x_2,x_3$ 是自由变量，（$\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 没有倍数关系），表示经过原点的平面。
c. 方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 是齐次的当且仅当零向量是它的解。
d. 把一个向量加上 $\mathbf{p}$ 就是把该向量沿平行于 $\mathbf{p}$ 的方向移动。
e. 方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集可由平移 $A\mathbf{x}=0$ 的解集得到。

解答：
a. 假。非平凡解只需至少一个元素非零，不要求所有元素都非零（如 $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ 是 $x_1=0$ 的非平凡解）。
b. 真。因为 u 和 v 线性无关，它们张成一个二维子空间，在 R3 中即为过原点的平面。
c. 真。齐次方程定义就是 $b=0$，且零向量总是解；反之若零向量是 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解，则 $b=A0=0$。
d. 假。把向量 $\mathbf{v}$ 加上 $\mathbf{p}$ 是将 $\mathbf{v}$ 沿平行于 $\mathbf{p}$ 的方向移动，但表述不准确，应为"把向量 $\mathbf{v}$ 平移 $\mathbf{p}$"。
e. 假。只有当 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 相容（有解）时才能这样表示，否则解集为空，无法平移。

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25.
证明定理 6 的第二部分：假设 $\mathbf{w}$ 是 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的任意解。定义 ${\mathbf{v}}_s=\mathbf{w}-\mathbf{p}$。证明 ${\mathbf{v}}_s$ 是 $A\mathbf{x}=0$ 的一个解。

解答：
已知：

• $\mathbf{w}$ 是 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的任意解 $\Rightarrow A\mathbf{w}=\mathbf{b}$
• $\mathbf{p}$ 是 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的特解 $\Rightarrow A\mathbf{p}=\mathbf{b}$

令 ${\mathbf{v}}_s=\mathbf{w}-\mathbf{p}$，则：
$$A{\mathbf{v}}_s=A(\mathbf{w}-\mathbf{p})=A\mathbf{w}-A\mathbf{p}=\mathbf{b}-\mathbf{b}=0$$

因此 ${\mathbf{v}}_s$ 满足 $A\mathbf{x}=0$，是齐次方程的解。

这说明 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的任何解 $\mathbf{w}$ 都可以表示为 $\mathbf{w}=\mathbf{p}+{\mathbf{v}}_s$，其中 ${\mathbf{v}}_s$ 是 $A\mathbf{x}=0$ 的解。

结论：
定理 6 第二部分得证：非齐次方程的解集 = 特解 + 齐次方程的解集。

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26.
设 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解，说明为什么当 $A\mathbf{x}=0$ 仅有平凡解时，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解是唯一的。

解答：
方法一（利用定理 6）：
若 $A\mathbf{x}=0$ 只有平凡解 ${\mathbf{v}}_s=0$，则非齐次方程的解集为 {p+0}={p}\{\mathbf{p} + \mathbf{0}\} = \{\mathbf{p}\}{p+0}={p}，即唯一解。

方法二（利用自由变量）：
$A\mathbf{x}=0$ 仅有平凡解 $\iff$ $A$ 的每一列都是主元列 $\iff$ 方程组无自由变量。
因此 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 也没有自由变量，解唯一。

结论：
当齐次方程只有平凡解时，系数矩阵 $A$ 的列向量线性无关，非齐次方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 若有解则必唯一。

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27.
设 $A$ 是 $3\times 3$ 零矩阵（所有元素都是零），求方程 $A\mathbf{x}=0$ 的解集。

解答：
零矩阵 $A=0$，则 $A\mathbf{x}=0x=0$ 对任意 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^3$ 成立。

结论：
解集是整个 ${\mathbb{R}}^3$，即所有三维向量都是解。

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28.
若 $\mathbf{b}\ne 0$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集是否可能是通过原点的平面？说明理由。

解答：
不可能。理由如下：

1. 若解集是通过原点的平面，则 $0$ 是解，即 $A0=\mathbf{b}$，这推出 $\mathbf{b}=0$，与 $\mathbf{b}\ne 0$ 矛盾。

2. 根据定理 6，当 $\mathbf{b}\ne 0$ 时，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集（若非空）是齐次方程解集的平移，不经过原点（除非齐次解集为空，但齐次方程总有零解）。

结论：
当 $\mathbf{b}\ne 0$ 时，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集不可能是过原点的平面（若解集是平面，则必不过原点）。

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29. (a) 方程 $Ax=0$ 是否有非平凡解？(b) 方程 $Ax=b$ 是否对每个 $b$ 都至少有一个解？
$A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，有 3 个主元位置。

解答：
a. 对 $A\mathbf{x}=0$：
3 个主元位置意味着 3 个基本变量，0 个自由变量。因此只有平凡解 $\mathbf{x}=0$，无非平凡解。

b. 对 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$：
3 个主元位置意味着 $A$ 的每一行都有主元。根据定理 4，对任意 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^3$，方程都有解。解唯一（因为无自由变量）。

结论：
a. 无非平凡解；b. 对所有 $\mathbf{b}$ 都有唯一解。

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30. (a) 方程 $Ax=0$ 是否有非平凡解？(b) 方程 $Ax=b$ 是否对每个 $b$ 都至少有一个解？
$A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，有 2 个主元位置。

解答：
a. 对 $A\mathbf{x}=0$：
2 个主元位置意味着 2 个基本变量，1 个自由变量。因此有非平凡解（无穷多解）。

b. 对 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$：
2 个主元位置意味着 $A$ 的某一行无主元。根据定理 4，存在某些 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^3$ 使方程无解。对于使方程有解的 $\mathbf{b}$，解有无穷多个（因为有 1 个自由变量）。

结论：
a. 有非平凡解；b. 不能对所有 $\mathbf{b}$ 都有解，有解时解不唯一。

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31.
$A$ 是 $3\times 2$ 矩阵，有 2 个主元位置。

解答：
a. 对 $A\mathbf{x}=0$：
2 个主元位置意味着 2 个基本变量，0 个自由变量（$A$ 有 2 列）。因此只有平凡解，无非平凡解。

b. 对 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$：
2 个主元位置但 $A$ 有 3 行，至少有一行无主元。因此不能对所有 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^3$ 都有解。当方程有解时，解唯一（因为无自由变量）。

结论：
a. 无非平凡解；b. 不能对所有 $\mathbf{b}$ 都有解，有解时解唯一。

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32.
$A$ 是 $2\times 4$ 矩阵，有 2 个主元位置。

解答：
a. 对 $A\mathbf{x}=0$：
2 个主元位置意味着 2 个基本变量，2 个自由变量（$A$ 有 4 列）。因此有非平凡解（无穷多解）。

b. 对 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$：
2 个主元位置意味着 $A$ 的每一行都有主元（只有 2 行）。因此对所有 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^2$ 方程都有解。由于有 2 个自由变量，解有无穷多个。

结论：
a. 有非平凡解；b. 对所有 $\mathbf{b}$ 都有无穷多解。

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33.
给定 $A=\left[\begin{array}{cc}-2& -6\\ 7& 21\\ -3& -9\end{array}\right]$，用观察法求 $A\mathbf{x}=0$ 的一个非平凡解。

解答：
观察矩阵列向量关系：第二列是第一列的 3 倍，即 $a_2=3a_1$。

因此有 $a_1-\frac{1}{3}{a}_2=0$，等价于 $3a_1-a_2=0$。

结论：
非平凡解为 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right]$（或任何非零倍数，如 $\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right]$）。

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34.
给定 $A=\left[\begin{array}{cc}4& -6\\ -8& 12\\ 6& -9\end{array}\right]$，用观察法求 $A\mathbf{x}=0$ 的一个非平凡解。

解答：
观察矩阵列向量关系：第二列是第一列的 $-\frac{3}{2}$ 倍，即 $a_2=-\frac{3}{2}{a}_1$。

因此有 $3a_1+2a_2=0$。

结论：
非平凡解为 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$。

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35.
构造一个 $3\times 3$ 非零矩阵 $A$，使向量 $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$ 是 $A\mathbf{x}=0$ 的一个解。

解答：
需要构造 $A$ 使得 $A\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=0$，即每行元素之和为零。

简单构造：
令每行元素之和为 0，例如：
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 1& -2& 1\\ -2& 1& 1\end{array}\right]$$

验证：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 1& -2& 1\\ -2& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1+1-2\\ 1-2+1\\ -2+1+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

结论：
一个满足条件的矩阵为 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 1& -2& 1\\ -2& 1& 1\end{array}\right]$（答案不唯一）。

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36.
构造一个 $3\times 3$ 非零矩阵 $A$，使向量 $\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right]$ 是 $A\mathbf{x}=0$ 的一个解。

解答：
需要构造 $A$ 使得 $A\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right]=0$，即每行满足 $a_{i1}-2a_{i2}+a_{i3}=0$。

简单构造：
令每行满足该关系，例如：

• 第1行：取 $a_{11}=1,a_{12}=1$，则 $a_{13}=1$
• 第2行：取 $a_{21}=1,a_{22}=0$，则 $a_{23}=-1$
• 第3行：取 $a_{31}=0,a_{32}=1$，则 $a_{33}=2$

得到：
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 2\end{array}\right]$$

验证：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1-2+1\\ 1+0-1\\ 0-2+2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

结论：
一个满足条件的矩阵为 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 2\end{array}\right]$（答案不唯一）。

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37.
构造一个 $2\times 2$ 矩阵 $A$，使方程 $A\mathbf{x}=0$ 的解集是一条经过点 $(4,1)$ 和原点的 ${\mathbb{R}}^2$ 中的直线。随后，在 ${\mathbb{R}}^2$ 中找一向量 $\mathbf{b}$ 使 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集不是 ${\mathbb{R}}^2$ 中平行于 $A\mathbf{x}=0$ 的解集的直线。为什么这与定理 6 没有矛盾？

解答：

步骤 1：构造矩阵 $A$

要使 $A\mathbf{x}=0$ 的解集是过原点 $(0,0)$ 和点 $(4,1)$ 的直线，该直线的方向向量必为
$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]$$

这意味着所有满足 $\mathbf{x}=t\mathbf{v}$（$t\in \mathbb{R}$）的向量都必须是 $A\mathbf{x}=0$ 的解，即 $A\mathbf{v}=0$。

取最简单矩阵
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& -4\\ 0& 0\end{array}\right]$$

验证：
$$A\mathbf{v}=\left[\begin{array}{cc}1& -4\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4-4\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$$

此时 $A\mathbf{x}=0$ 等价于 $x_1-4x_2=0$，即 $x_1=4x_2$，解集为
$$\left\{t\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]:t\in \mathbb{R}\right\}$$
确为所求直线。

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步骤 2：找向量 $\mathbf{b}$ 使解集不平行

取
$$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

则 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 为
$$\{\begin{array}{l}{x}_1-4x_2=0\\ 0=1\end{array}$$

第二个方程矛盾，方程组无解，解集为空集 $\varnothing$。

空集不是一条直线，更不是平行于 $A\mathbf{x}=0$ 解集的直线。

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步骤 3：与定理 6 无矛盾的原因

定理 6 的核心结论：

若 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解，则其解集可表示为 一个特解 + 齐次方程的解集。

关键前提： “有解”（非空） 。

本题中取 $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ 时，方程组无解，不满足定理 6 的前提条件，因此定理 6 不适用，自然不产生矛盾。

结论：

• $A=\left[\begin{array}{cc}1& -4\\ 0& 0\end{array}\right]$
• $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ 时解集为空
• 不矛盾是因为定理 6 仅适用于有解的情况

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38.
设 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，$\mathbf{y}$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的一个向量，且方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 无解。讨论是否存在 ${\mathbb{R}}^3$ 中的一个向量 $\mathbf{z}$，使方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{z}$ 有唯一解。

解答：
$A\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 无解 $\Rightarrow$ $A$ 没有主元位于每一行（即至少一行无主元）。
因为 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，所以 $A$ 最多有 2 个主元位置。

情况分析：

• 若 $A$ 有 2 个主元，则有 1 个自由变量。此时对任何使方程有解的 $\mathbf{z}$，解都有无穷多个（不唯一）。
• 若 $A$ 有 1 个或 0 个主元，则有 2 或 3 个自由变量，解更不唯一。

结论：
不存在这样的 $\mathbf{z}$。因为 $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 无解说明 $A$ 的秩小于 3，$A$ 必有自由变量，因此任何有解的方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{z}$ 都有无穷多解，不可能有唯一解。

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39.
设 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，$\mathbf{u}$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中满足 $A\mathbf{x}=0$ 的向量。证明对任一常数 $c$，向量 $c\mathbf{u}$ 也满足 $A\mathbf{x}=0$ 的向量。

解答：
已知 $A\mathbf{u}=0$，对任意标量 $c$：
$$A(c\mathbf{u})=c(A\mathbf{u})\text{（矩阵乘法线性性质）}$$

$$=c0=0$$

结论：
对任意常数 $c$，$c\mathbf{u}$ 也是 $A\mathbf{x}=0$ 的解。这说明齐次方程的解集对数乘封闭。

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40.
设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中满足 $A\mathbf{u}=0$ 和 $A\mathbf{v}=0$ 的向量。解释为什么 $A(\mathbf{u}+\mathbf{v})$ 一定是零向量，以及对每一对标量 $c$ 和 $d$，为什么 $A(c\mathbf{v}+d\mathbf{u})=0$。

解答：
性质1（加法封闭性）：
$$A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}\text{（矩阵乘法线性性质）}$$

$$=0+0=0$$

性质2（线性组合封闭性）：
对任意标量 $c,d$：
$$A(c\mathbf{v}+d\mathbf{u})=A(c\mathbf{v})+A(d\mathbf{u})\text{（分配律）}$$

$$=c(A\mathbf{v})+d(A\mathbf{u})\text{（数乘性质）}$$

$$=c0+d0=0$$

结论：
齐次方程 $A\mathbf{x}=0$ 的解集对加法和线性组合封闭，构成一个子空间（零空间）。