线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章线性代数中的线性方程组 1.7 线性无关(1)

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1.7

练习题

设 $u=[32−4]\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{bmatrix}$ , $v=[−617]\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -6 \\ 1 \\ 7 \end{bmatrix}$ , $w=[0−52]\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 2 \end{bmatrix}$ , $z=[37−5]\mathbf{z} = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ -5 \end{bmatrix}$ .
a. 集合 ${u,v}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ , ${u,w}\{\mathbf{u}, \mathbf{w}\}$ , ${v,w}\{\mathbf{v}, \mathbf{w}\}$ , ${v,z}\{\mathbf{v}, \mathbf{z}\}$ 和 ${w,z}\{\mathbf{w}, \mathbf{z}\}$ 都是线性无关的吗？为什么？
b. 上面（a）的答案是否蕴涵着 ${u,v,w,z}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{z}\}$ 也线性无关？
c. 为确定 ${u,v,w,z}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{z}\}$ 是否是线性相关，是否有必要验证 $w\mathbf{w}$ 是 $u,v,z\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{z}$ 的线性组合？
d. ${u,v,w,z}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{z}\}$ 是否线性相关？

解答：
a. 两个向量线性无关当且仅当它们不成比例（即不存在标量 $k$ 使得一个向量是另一个的 $k$ 倍）。

对 ${u,v}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ ：检查比例 $u_1/v_1 = 3/(-6) = -0.5$ ， $u_2/v_2 = 2/1 = 2$ ， $u3/v3=−4/7≈−0.57u_3/v_3 = -4/7 \approx -0.57$ ，比例不全等，故不成比例。
对 ${u,w}\{\mathbf{u}, \mathbf{w}\}$ ： $w_1 = 0$ ，但 $u1=3≠0u_1 = 3 \neq 0$ ，若成比例则 $u_1$ 必须为 0，矛盾，故不成比例。
对 ${v,w}\{\mathbf{v}, \mathbf{w}\}$ ： $v_1/w_1$ 未定义（ $w_1=0$ ），但 $v1=−6≠0v_1 = -6 \neq 0$ ，故不成比例。
对 ${v,z}\{\mathbf{v}, \mathbf{z}\}$ ： $v_1/z_1 = -6/3 = -2$ ， $v2/z2=1/7≈0.14v_2/z_2 = 1/7 \approx 0.14$ ，比例不等，故不成比例。
对 ${w,z}\{\mathbf{w}, \mathbf{z}\}$ ： $w_1/z_1 = 0/3 = 0$ ， $w2/z2=−5/7≈−0.71w_2/z_2 = -5/7 \approx -0.71$ ，比例不等，故不成比例。
因此，所有两向量集合均线性无关。

b. 线性无关的两向量集合不能保证整个集合线性无关。例如， $u,v,w\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ 可能共面（即线性相关），即使任意两向量线性无关。因此，(a) 的结果不蕴涵 ${u,v,w,z}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{z}\}$ 线性无关。

c. 检验线性无关性时，验证某个特定向量是否是其他向量的线性组合不是必要步骤。因为即使没有单个向量是其他向量的线性组合，整个集合仍可能线性相关（如三个向量共面但无两向量相关）。本题中， $w\mathbf{w}$ 不是 $u,v,z\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{z}$ 的线性组合，但整体仍线性相关，故无需验证。

d. 所有向量属于 $R3\mathbb{R}^3$ （三维空间），而向量个数为 4。由线性代数定理：在 $Rn\mathbb{R}^n$ 中，若向量个数超过 $n$ ，则必线性相关。这里 $4 > 3$ ，故 ${u,v,w,z}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{z}\}$ 线性相关。

[!NOTE]

在 $Rn\mathbb{R}^n$ 中，若向量个数超过 $n$ ，则这些向量必线性相关。这一结论可以从以下几个角度进行严谨分析：

1. 向量空间的维数与基的性质

维数定义： $Rn\mathbb{R}^n$ 是一个 $n$ 维向量空间，其维数由标准基 ${e1,e2,…,en}\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 的个数决定。
最大线性无关组：在 $n$ 维空间中，任何线性无关的向量组最多包含 $n$ 个向量。若向量个数 $k > n$ ，则无法构成线性无关组，必然存在非平凡的线性组合使得结果为零向量。

2. 矩阵秩的视角

将 $k$ 个向量作为列向量组成 $\times k$ 矩阵 $A$ 。
矩阵秩的限制：矩阵 $A$ 的秩 $r (A)$ 满足 $\leq \min(n, k) = n$ （因为行数为 $n$ ）。
列向量组的线性相关性：若列向量组线性无关，则秩应等于列数 $k$ ，但 $\leq n < k$ ，矛盾。因此，列向量组必线性相关。

3. 齐次线性方程组的解

考虑线性组合 $c1v1+c2v2+⋯+ckvk=0c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = 0$ ，这是一个包含 $n$ 个方程、 $k$ 个未知数的齐次方程组。
自由变量的存在：当 $k > n$ 时，系数矩阵的秩 $\leq n$ ，自由变量个数为 $\geq k - n > 0$ ，因此存在非零解（即不全为零的 $c_i$ ），说明向量组线性相关。

4. 几何直观

在 $R2\mathbb{R}^2$ 中，任意三个向量必然共面（二维空间中无法容纳三个线性无关的向量）。
在 $R3\mathbb{R}^3$ 中，四个向量必然共体（三维空间中无法容纳四个线性无关的向量）。
一般地，在 $n$ 维空间中，超过 $n$ 个向量必然“冗余”，存在依赖关系。

结论

综合上述分析， $Rn\mathbb{R}^n$ 的维数为 $n$ ，任何超过 $n$ 个向量的集合必然存在线性相关性。这是向量空间维数理论的核心结论之一，也是线性代数中秩、基和线性方程组理论的自然推论。

最终答案：
在 $Rn\mathbb{R}^n$ 中，由于其维数为 $n$ ，任何超过 $n$ 个向量的集合必然线性相关。这是因为 $n$ 维空间中最大线性无关组的大小为 $n$ ，而矩阵秩的限制或齐次方程组的非零解存在性均证明了这一点。因此，若向量个数超过 $n$ ，则这些向量必线性相关。
$\boxed{\text{在 } \mathbb{R}^n \text{ 中，若向量个数超过 } n \text{，则这些向量必线性相关。}}$

假设 ${v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}$ 是 $Rn\mathbb{R}^n$ 中向量的线性相关集，并且 $v4∈Rn\mathbf{v}_4 \in \mathbb{R}^n$ 。证明 ${v1,v2,v3,v4}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\}$ 是线性相关集。

解答：
因为 ${v1,v2,v3}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}$ 线性相关，由线性相关定义，存在不全为零的标量 $c_1, c_2, c_3$ 使得：
$c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + c_3\mathbf{v}_3 = \mathbf{0}$
考虑向量组 ${v1,v2,v3,v4}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\}$ ，构造线性组合：
$c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + c_3\mathbf{v}_3 + 0 \cdot \mathbf{v}_4 = \mathbf{0}$
由于 $c_1, c_2, c_3$ 不全为零（而 $c_4 = 0$ ），系数 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 不全为零。因此， ${v1,v2,v3,v4}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\}$ 满足线性相关集的定义。

结论：
${v1,v2,v3,v4}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\}$ 是线性相关集。

习题 1.7

确定向量组 $[500],[72−6],[94−8]\begin{bmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 7 \\ 2 \\ -6 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 9 \\ 4 \\ -8 \end{bmatrix}$ 是否线性相关，给出理由。

解答：
使用增广矩阵研究 $x1u+x2v+x3w=0x_1\mathbf{u} + x_2\mathbf{v} + x_3\mathbf{w} = \mathbf{0}$ 的解集，其中 $u,v,w\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ 是给定的三个向量。
$\begin{bmatrix} 5 & 7 & 9 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & -6 & -8 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 5 & 7 & 9 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \end{bmatrix}$
行变换后没有自由变量。

结论：
齐次方程只有平凡解，向量组线性无关。

确定向量组 $[002],[05−8],[−341]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ -8 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ 是否线性相关，给出理由。

解答：
使用增广矩阵研究 $x1u+x2v+x3w=0x_1\mathbf{u} + x_2\mathbf{v} + x_3\mathbf{w} = \mathbf{0}$ 的解集，其中 $u,v,w\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ 是给定的三个向量。
$\begin{bmatrix} 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 5 & 4 & 0 \\ 2 & -8 & 1 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 2 & -8 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \end{bmatrix}$
行变换后没有自由变量。

结论：
齐次方程只有平凡解，向量组线性无关。

确定向量组 $[1−3],[−39]\begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 9 \end{bmatrix}$ 是否线性相关，给出理由。

解答：
使用例3的方法。通过比较向量的对应元素：
$\begin{bmatrix} -3 \\ 9 \end{bmatrix} = -3 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}$
第二个向量是第一个向量的-3倍。

结论：
两个向量线性相关。

确定向量组 $[−14],[−2−8]\begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -8 \end{bmatrix}$ 是否线性相关，给出理由。

解答：
检查是否存在标量 $c$ 使得第二个向量是第一个向量的倍数：

从第一元素看： $\cdot (-1)$
但从第二元素看： $\neq 2 \cdot 4$
存在符号问题，没有一个向量是另一个的倍数。

结论：
两个向量线性无关。

确定给定矩阵的各列是否构成线性无关集： $[0−853−74−15−41−32]\begin{bmatrix} 0 & -8 & 5 \\ 3 & -7 & 4 \\ -1 & 5 & -4 \\ 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

解答：
对 $Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的增广矩阵进行行变换：
$\begin{bmatrix} 0 & -8 & 5 & 0 \\ 3 & -7 & 4 & 0 \\ -1 & 5 & -4 & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 0 \\ 3 & -7 & 4 & 0 \\ -1 & 5 & -4 & 0 \\ 0 & -8 & 5 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & -8 & 5 & 0 \end{bmatrix} \sim$

$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

行变换后没有自由变量。

结论：
方程 $Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 只有平凡解，矩阵各列线性无关。

确定给定矩阵的各列是否构成线性无关集： $[−4−300−14103546]\begin{bmatrix} -4 & -3 & 0 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \\ 5 & 4 & 6 \end{bmatrix}$

解答：
对 $Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的增广矩阵进行行变换：
$\begin{bmatrix} -4 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 5 & 4 & 6 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & 4 & 0 \\ -4 & -3 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 6 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & 4 & 0 \\ 0 & -3 & 12 & 0 \\ 0 & 4 & -9 & 0 \end{bmatrix} \sim$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

行变换后没有自由变量。

结论：
方程 $Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 只有平凡解，矩阵各列线性无关。

确定给定矩阵的各列是否构成线性无关集： $[14−30−2−751−4−575]\begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 \\ -2 & -7 & 5 & 1 \\ -4 & -5 & 7 & 5 \end{bmatrix}$

解答：
研究方程 $Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ ，对增广矩阵进行行变换：
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 & 0 \\ -2 & -7 & 5 & 1 & 0 \\ -4 & -5 & 7 & 5 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 11 & -5 & 5 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & -6 & 0 \end{bmatrix}$
矩阵只有3行，最多有3个主元位置，但有4个变量。

结论：
方程 $Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 有非平凡解，矩阵各列线性相关。

确定给定矩阵的各列是否构成线性无关集： $[1−33−2−37−1201−43]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 & -2 \\ -3 & 7 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & 3 \end{bmatrix}$

解答：
对增广矩阵进行行变换：
$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 & -2 & 0 \\ -3 & 7 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 8 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 8 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
矩阵只有3行，最多有3个主元位置，但有4个变量。

结论：
方程 $Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 有非平凡解，矩阵各列线性相关。

(a) 对 $h$ 的什么值， $v_3$ 属于 $Span\{v_1,v_2\}$ ？(b) 对 $h$ 的什么值， ${v_1,v_2,v_3\}$ 线性相关？
其中 $v1=[1−32],v2=[−39−6],v3=[5−7h]v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} -3 \\ 9 \\ -6 \end{bmatrix}, v_3 = \begin{bmatrix} 5 \\ -7 \\ h \end{bmatrix}$

解答：
(a) 将 $v_1 \ v_2 \ v_3]$ 作为增广矩阵行变换：
$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 \\ -3 & 9 & -7 \\ 2 & -6 & h \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & h-10 \end{bmatrix}$
方程 $0 = 8$ 表明原向量方程无解。

(b) 将 $0][v_1 \ v_2 \ v_3 \ \mathbf{0}]$ 作为增广矩阵行变换：
$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & 0 \\ -3 & 9 & -7 & 0 \\ 2 & -6 & h & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & h-10 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
对所有 $h$ 值， $x_2$ 都是自由变量。

结论：
(a) 对于任何 $h$ 值， $v_3$ 都不属于 $Span\{v_1,v_2\}$ 。
(b) 对所有 $h$ 值， ${v_1,v_2,v_3\}$ 都是线性相关的。

(a) 对 $h$ 的什么值， $v_3$ 属于 $Span\{v_1,v_2\}$ ？(b) 对 $h$ 的什么值， ${v_1,v_2,v_3\}$ 线性相关？
其中 $v1=[1−5−3],v2=[−2106],v3=[2−9h]v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 10 \\ 6 \end{bmatrix}, v_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ -9 \\ h \end{bmatrix}$

解答：
(a) 将 $v_1 \ v_2 \ v_3]$ 作为增广矩阵行变换：
$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -5 & 10 & -9 \\ -3 & 6 & h \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & h+6 \end{bmatrix}$
方程 $0 = 1$ 表明原向量方程无解。

(b) 将 $0][v_1 \ v_2 \ v_3 \ \mathbf{0}]$ 作为增广矩阵行变换：
$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 & 0 \\ -5 & 10 & -9 & 0 \\ -3 & 6 & h & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & h+6 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
对所有 $h$ 值， $x_2$ 都是自由变量。

结论：
(a) 对于任何 $h$ 值， $v_3$ 都不属于 $Span\{v_1,v_2\}$ 。
(b) 对所有 $h$ 值， ${v_1,v_2,v_3\}$ 都是线性相关的。

求出 $h$ 的值，使向量组 $[1−14],[3−57],[−15h]\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 7 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ h \end{bmatrix}$ 线性相关。

解答：
构造增广矩阵 $0][\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2\ \mathbf{v}_3\ \mathbf{0}]$ 并行变换：
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 & 0 \\ -1 & -5 & 5 & 0 \\ 4 & 7 & h & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 4 & 0 \\ 0 & -5 & h+4 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & h-6 & 0 \end{bmatrix}$
当 $h - 6 = 0$ 时，方程 $x1v1+x2v2+x3v3=0x_1\mathbf{v}_1 + x_2\mathbf{v}_2 + x_3\mathbf{v}_3 = \mathbf{0}$ 有非平凡解（对应 $x_3$ 为自由变量）。

结论：
向量组线性相关当且仅当 $h = 6$ 。

求出 $h$ 的值，使向量组 $[2−41],[−67−3],[8h4]\begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -6 \\ 7 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 8 \\ h \\ 4 \end{bmatrix}$ 线性相关。

解答：
构造增广矩阵 $0][\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2\ \mathbf{v}_3\ \mathbf{0}]$ 并行变换：
$\begin{bmatrix} 2 & -6 & 8 & 0 \\ -4 & 7 & h & 0 \\ 1 & -3 & 4 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 2 & -6 & 8 & 0 \\ 0 & -5 & h+16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
行变换后第三行全零，说明方程恒有自由变量（无论 $h$ 取何值）。

结论：
对所有 $h$ 值，向量组均线性相关。

求出 $h$ 的值，使向量组 $[15−3],[−2−96],[3h−9]\begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -9 \\ 6 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ h \\ -9 \end{bmatrix}$ 线性相关。

解答：
构造增广矩阵 $0][\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2\ \mathbf{v}_3\ \mathbf{0}]$ 并行变换：
$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 0 \\ 5 & -9 & h & 0 \\ -3 & 6 & -9 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & h-15 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
行变换后第三行全零，说明方程恒有自由变量（无论 $h$ 取何值）。

结论：
对所有 $h$ 值，向量组均线性相关。

求出 $h$ 的值，使向量组 $[1−13],[−578],[11h]\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -5 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ h \end{bmatrix}$ 线性相关。

解答：
构造增广矩阵 $0][\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2\ \mathbf{v}_3\ \mathbf{0}]$ 并行变换：
$\begin{bmatrix} 1 & -5 & 1 & 0 \\ -1 & 7 & 1 & 0 \\ 3 & 8 & h & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -5 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 23 & h-3 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -5 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & h-26 & 0 \end{bmatrix}$
当 $h - 26 = 0$ 时，方程有非平凡解（对应 $x_3$ 为自由变量）。

结论：
向量组线性相关当且仅当 $h = 26$ 。

通过观察判断向量组 $[51],[28],[13],[−17]\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 8 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 7 \end{bmatrix}$ 是否线性无关。

解答：
向量组包含 4 个二维向量。根据定理 8，当向量个数超过向量空间维数时，向量组必然线性相关。

结论：
向量组线性相关。

通过观察判断向量组 $[4−26],[6−39]\begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{bmatrix}$ 是否线性无关。

解答：
第二个向量是第一个向量的 $32\frac{3}{2}$ 倍：
$\begin{bmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{bmatrix} = \frac{3}{2} \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{bmatrix}$
存在非平凡线性组合等于零向量。

结论：
向量组线性相关。

通过观察判断向量组 $[35−1],[000],[−654]\begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -6 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix}$ 是否线性无关。

解答：
向量组包含零向量。根据定理 9，包含零向量的向量组必然线性相关。

结论：
向量组线性相关。

通过观察判断向量组 $[44],[−13],[25],[81]\begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 8 \\ 1 \end{bmatrix}$ 是否线性无关。

解答：
向量组包含 4 个二维向量。根据定理 8，当向量个数超过向量空间维数时，向量组必然线性相关。

结论：
向量组线性相关。

通过观察判断向量组 $[−812−4],[2−3−1]\begin{bmatrix} -8 \\ 12 \\ -4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ -1 \end{bmatrix}$ 是否线性无关。

解答：
检查是否存在标量 $c$ 使两向量成比例：

前两个分量满足 $\times 2$ ， $\times (-3)$ ，但第三分量 $\neq -4 \times (-1)$ 。
无统一标量 $c$ 使两向量成比例。

结论：
向量组线性无关。

通过观察判断向量组 $[14−7],[−253],[000]\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -7 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 是否线性无关。