线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章 线性代数中的线性方程组 1.1 线性方程组(2)

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16.
确定方程组是否相容：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_4=-3\\ 2x_2+2x_3=0\\ x_3+3x_4=1\\ -2x_1+3x_2+2x_3+x_4=5\end{array}$$

增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& -2& -3\\ 0& 2& 2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 3& 1\\ -2& 3& 2& 1& 5\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第四行替换为 $R_4+2R_1$：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& -2& -3\\ 0& 2& 2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 3& 1\\ 0& 3& 2& -3& -1\end{array}\right]$$

2. 将第四行替换为 $R_4+\left(-\frac{3}{2}\right)R_2$：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& -2& -3\\ 0& 2& 2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 3& 1\\ 0& 0& -1& -3& -1\end{array}\right]$$

3. 将第四行替换为 $R_4+R_3$：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& -2& -3\\ 0& 2& 2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 3& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

结论：
行阶梯形中无矛盾方程（即无 $0=k$ 形式的行），且前三行均有主元。
方程组相容，有无穷多解。

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17.
三条直线 $x_1-4x_2=1$，$2x_1-x_2=-3$ 和 $-x_1-3x_2=4$ 是否有交点？

增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& -4& 1\\ 2& -1& -3\\ -1& -3& 4\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第二行替换为 $R_2-2R_1$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& -4& 1\\ 0& 7& -5\\ -1& -3& 4\end{array}\right]$$

2. 将第三行替换为 $R_3+R_1$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& -4& 1\\ 0& 7& -5\\ 0& -7& 5\end{array}\right]$$

3. 将第三行替换为 $R_3+R_2$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& -4& 1\\ 0& 7& -5\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

结论：
行阶梯形中无矛盾方程，且主元数量等于变量数。
系统相容且有唯一解，三条直线交于一点。

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18.
三条直线 $x_1+2x_2+x_3=4$，$x_2-x_3=1$ 和 $x_1+3x_2=0$ 是否有交点？

增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& 1& -1& 1\\ 1& 3& 0& 0\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第三行替换为 $R_3-R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 1& -1& -4\end{array}\right]$$

2. 将第三行替换为 $R_3-R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& 0& -5\end{array}\right]$$

矛盾分析：
第三行对应方程 $0x_1+0x_2+0x_3=-5$，即 $0=-5$，为矛盾方程。

结论：
系统包含矛盾方程。
三条直线无共同交点。

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19.
确定 $h$ 的值，使得矩阵是某个相容线性方程组的增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& h& 4\\ 3& 6& 8\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第二行替换为 $R_2-3R_1$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& h& 4\\ 0& 6-3h& -4\end{array}\right]$$

相容性分析：

• 当 $6-3h\ne 0$（即 $h\ne 2$）时，系统相容，有唯一解。
• 当 $h=2$ 时，第二行变为 $[00-4]$，对应方程 $0=-4$，矛盾。

结论：
当且仅当 $h\ne 2$ 时，方程组相容。

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20.
确定 $h$ 的值，使得矩阵是某个相容线性方程组的增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& h& -3\\ -2& 4& 6\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第二行替换为 $R_2+2R_1$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& h& -3\\ 0& 4+2h& 0\end{array}\right]$$

相容性分析：

• 第二行对应方程 $(4+2h)x_2=0$。
• 若 $4+2h\ne 0$，则 $x_2=0$，系统相容。
• 若 $4+2h=0$（即 $h=-2$），则方程为 $0=0$，$x_2$ 可取任意值，系统仍相容。

结论：
对任意 $h$，方程组均相容。

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21.
确定 $h$ 的值，使得矩阵是某个相容线性方程组的增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ -4& h& 8\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第二行替换为 $R_2+4R_1$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ 0& h+12& 0\end{array}\right]$$

相容性分析：

• 第二行对应方程 $(h+12)x_2=0$。
• 若 $h+12\ne 0$，则 $x_2=0$，系统相容。
• 若 $h+12=0$（即 $h=-12$），则方程为 $0=0$，$x_2$ 可取任意值，系统仍相容。

结论：
对任意 $h$，方程组均相容。

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22.
确定 $h$ 的值，使得矩阵是某个相容线性方程组的增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}2& -3& h\\ -6& 9& 5\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第二行替换为 $R_2+3R_1$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}2& -3& h\\ 0& 0& 5+3h\end{array}\right]$$

相容性分析：

• 当 $5+3h=0$（即 $h=-\frac{5}{3}$）时，第二行变为 $[000]$，系统相容（有无穷多解）。
• 当 $5+3h\ne 0$ 时，第二行对应方程 $0=5+3h$，矛盾，系统不相容。

结论：
当且仅当 $h=-\frac{5}{3}$ 时，方程组相容。

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23.
判断下列命题的真假，并说明理由：
a. 每个矩阵行变换都是可逆的。
b. $5\times 6$ 矩阵有 6 行。
c. 包含 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 的线性方程组的解集是一组数 $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$，当用这组数代替 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 时，方程组中每个方程成为恒等式。
d. 线性方程组的两个基本问题涉及存在性和唯一性。

解答：

• a. True
  教材中“Elementary Row Operations”框后的说明指出：每个初等行变换都是可逆的。例如，交换两行的逆变换是再次交换这两行；某行乘以非零常数 $k$ 的逆变换是乘以 $1/k$；某行加上另一行的 $k$ 倍的逆变换是减去该行的 $k$ 倍。

• b. False
  $5\times 6$ 矩阵表示有 5 行、6 列，而非 6 行。矩阵维度的定义是“行数 × 列数”，因此该命题错误。

• c. False
  该描述仅适用于单个解，但解集是所有可能解的集合。例如，相容且有无穷多解的方程组，其解集包含无限多个解；只有当解集恰好只含一个解时，该描述才成立。因此该命题不完全正确。

• d. True
  教材中 Example 2 前的框中明确指出：线性方程组的两个基本问题为存在性（是否有解）和唯一性（解是否唯一）。

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24.
判断下列命题的真假，并说明理由：
a. 对增广矩阵的初等行变换不会改变相关的线性方程组的解集。
b. 两个矩阵是行等价的，若它们有相同的行数。
c. 不相容线性方程组有一个或更多解。
d. 两个线性方程组是等价的，若它们有相同的解集。

解答：

• a. True
  教材中“Existence and Uniqueness Questions”小节前的框中明确说明：初等行变换不会改变线性方程组的解集。这是因为每个初等行变换对应方程组的等价变形（如交换方程、方程两边同乘非零常数、方程相加），不改变方程的解。

• b. False
  行等价的定义要求：存在一系列初等行变换将一个矩阵转换为另一个矩阵，而不仅仅是行数相同。例如，两个行数相同的矩阵若无法通过行变换相互转换，则不是行等价的。因此该命题错误。

• c. False
  根据定义，不相容系统没有解。若方程组存在矛盾方程（如 $0=1$），则无解，因此“有一个或更多解”的说法与定义矛盾。

• d. True
  教材中方程 (2) 后第二段明确给出等价系统的定义：两个线性方程组是等价的，当且仅当它们有相同的解集。这是等价系统的核心定义。

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25.
求出包含 $g$、$h$ 和 $k$ 的方程，使以下矩阵是相容方程组的增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& -4& 7& g\\ 0& 3& -5& h\\ -2& 5& -9& k\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第三行替换为 $R_3+2R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& -4& 7& g\\ 0& 3& -5& h\\ 0& -3& 5& k+2g\end{array}\right]$$

2. 将第三行替换为 $R_3+R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& -4& 7& g\\ 0& 3& -5& h\\ 0& 0& 0& k+2g+h\end{array}\right]$$

相容性分析：

• 第三行对应方程 $0=k+2g+h$。
• 为使方程组相容，必须满足 $k+2g+h=0$。

结论：
当且仅当 $k+2g+h=0$ 时，方程组相容。

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26.
给解集为 $x_1=-2$、$x_2=1$、$x_3=0$ 的线性方程组构造三个不同的增广矩阵。

构造方法：
利用初等行变换不改变解集的性质，从最简形式出发，通过不同行变换生成新矩阵。

三个增广矩阵：

1. 最简形式：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -2\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

2. 对第一行进行变换：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -2\\ 2& 1& 0& -3\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\text{（第二行替换为 R2+2R1）}$$

3. 对第二行进行变换：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -2\\ 0& 1& 0& 1\\ 2& 0& 1& -4\end{array}\right]\text{（第三行替换为 R3+2R1）}$$

结论：
以上三个矩阵均与最简形式行等价，因此解集均为 $(-2,1,0)$。

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27.
设方程组对所有 $f$ 和 $g$ 的可能取值都相容，求系数 $c$ 和 $d$ 的特性：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2=f\\ c{x}_1+d{x}_2=g\end{array}$$

增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& f\\ c& d& g\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第二行替换为 $R_2-c{R}_1$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& f\\ 0& d-3c& g-cf\end{array}\right]$$

相容性分析：

• 为使方程组对任意 $f$ 和 $g$ 相容，第二行不能出现矛盾方程 $0=b$（其中 $b\ne 0$）。
• 因此需保证 $d-3c\ne 0$，否则当 $g-cf\ne 0$ 时，方程组无解。

结论：
系数必须满足 $d\ne 3c$。

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28.
设 $a\ne 0$，方程组对所有 $f$ 和 $g$ 的可能取值都相容，求系数 $a,b,c,d$ 的特性：
$$\{\begin{array}{l}a{x}_1+b{x}_2=f\\ c{x}_1+d{x}_2=g\end{array}$$

增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}a& b& f\\ c& d& g\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 将第一行缩放为 $\frac{1}{a}{R}_1$（因 $a\ne 0$）：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& b/a& f/a\\ c& d& g\end{array}\right]$$

2. 将第二行替换为 $R_2-c{R}_1$：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& b/a& f/a\\ 0& d-c(b/a)& g-c(f/a)\end{array}\right]$$

相容性分析：

• 为使方程组对任意 $f$ 和 $g$ 相容，需保证 $d-c(b/a)\ne 0$。

• 化简条件：
  $$d-\frac{bc}{a}\ne 0\Rightarrow ad-bc\ne 0$$

结论：
系数必须满足 $ad\ne bc$（即系数矩阵行列式非零）。

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29.
第一个矩阵变为第二个矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}0& -2& 5\\ 1& 4& -7\\ 3& -1& 6\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 4& -7\\ 0& -2& 5\\ 3& -1& 6\end{array}\right]$$

初等行变换：

交换第一行与第二行（$R_1\leftrightarrow R_2$）。

第二个矩阵变回第一个矩阵：
逆变换：

交换第一行与第二行（$R_1\leftrightarrow R_2$）（交换操作自逆）。

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30.
第一个矩阵变为第二个矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& -4\\ 0& -2& 6\\ 0& -5& 9\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 3& -4\\ 0& 1& -3\\ 0& -5& 9\end{array}\right]$$

初等行变换：

将第二行缩放为 $-\frac{1}{2}{R}_2$（即 $R_2\leftarrow -\frac{1}{2}{R}_2$）。

第二个矩阵变回第一个矩阵：
逆变换：

将第二行缩放为 $-2R_2$（即 $R_2\leftarrow -2R_2$）。

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31.
第一个矩阵变为第二个矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 0\\ 0& 5& -2& 8\\ 4& -1& 3& -6\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 0\\ 0& 5& -2& 8\\ 0& 7& -1& 6\end{array}\right]$$

初等行变换：

将第三行替换为 $R_3-4R_1$（即 $R_3\leftarrow R_3-4R_1$）。

第二个矩阵变回第一个矩阵：
逆变换：

将第三行替换为 $R_3+4R_1$（即 $R_3\leftarrow R_3+4R_1$）。

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32.
第一个矩阵变为第二个矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -5& 0\\ 0& 1& -3& -2\\ 0& -3& 9& 5\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 2& -5& 0\\ 0& 1& -3& -2\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$$
初等行变换：

将第三行替换为 $R_3+3R_2$（即 $R_3\leftarrow R_3+3R_2$）。

第二个矩阵变回第一个矩阵：

逆变换：

将第三行替换为 $R_3-3R_2$（即 $R_3\leftarrow R_3-3R_2$）。

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33.
写出温度 $T_1,T_2,T_3,T_4$ 所满足的方程组。

方程组推导：
每个内部结点的温度近似等于与其最接近的4个结点（上、下、左、右）的平均值。

• $T_1$（左上结点）：
  上方 $=20^{\circ }$，左方 $=10^{\circ }$，下方 $=T_4$，右方 $=T_2$
  $$T_1=\frac{10+20+T_2+T_4}{4}\Rightarrow 4T_1-T_2-T_4=30$$

• $T_2$（右上结点）：
  上方 $=20^{\circ }$，左方 $=T_1$，下方 $=T_3$，右方 $=40^{\circ }$
  $$T_2=\frac{20+T_1+T_3+40}{4}\Rightarrow 4T_2-T_1-T_3=60$$

• $T_3$（右下结点）：
  上方 $=T_2$，左方 $=T_4$，下方 $=30^{\circ }$，右方 $=40^{\circ }$
  $$T_3=\frac{T_2+T_4+30+40}{4}\Rightarrow 4T_3-T_2-T_4=70$$

• $T_4$（左下结点）：
  上方 $=T_1$，左方 $=10^{\circ }$，下方 $=30^{\circ }$，右方 $=T_3$
  $$T_4=\frac{T_1+10+30+T_3}{4}\Rightarrow 4T_4-T_1-T_3=40$$

完整方程组：
$$\{\begin{array}{l}4T_1-T_2-T_4=30\\ -T_1+4T_2-T_3=60\\ -T_2+4T_3-T_4=70\\ -T_1-T_3+4T_4=40\end{array}$$

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34.
解习题 33 中的方程组。

增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccccc}4& -1& 0& -1& 30\\ -1& 4& -1& 0& 60\\ 0& -1& 4& -1& 70\\ -1& 0& -1& 4& 40\end{array}\right]$$

行变换过程：

1. 交换第一行与第四行（$R_1\leftrightarrow R_4$）：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}-1& 0& -1& 4& 40\\ -1& 4& -1& 0& 60\\ 0& -1& 4& -1& 70\\ 4& -1& 0& -1& 30\end{array}\right]$$

2. 缩放第一行 $(-1)R_1$，第二行 $(-1)R_2$，并将第四行替换为 $R_4+R_3$：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& -4& -40\\ 0& 4& 0& -4& 20\\ 0& -1& 4& -1& 70\\ 0& -1& -4& 15& 190\end{array}\right]$$

3. 缩放第二行 $\frac{1}{4}{R}_2$，并将第四行替换为 $R_4+R_3$：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& -4& -40\\ 0& 1& 0& -1& 5\\ 0& -1& 4& -1& 70\\ 0& 0& 0& 12& 270\end{array}\right]$$

4. 将第三行替换为 $R_3+R_2$，缩放第四行 $\frac{1}{12}{R}_4$，并创建第四列的零：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 50\\ 0& 1& 0& 0& 27.5\\ 0& 0& 4& 0& 120\\ 0& 0& 0& 1& 22.5\end{array}\right]$$

5. 缩放第三行 $\frac{1}{4}{R}_3$，并将第一行替换为 $R_1-R_3$：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 20.0\\ 0& 1& 0& 0& 27.5\\ 0& 0& 1& 0& 30.0\\ 0& 0& 0& 1& 22.5\end{array}\right]$$

结论：
解得：
$$T_1=20.0,T_2=27.5,T_3=30.0,T_4=22.5$$
方程组的解为 $(20.0,27.5,30.0,22.5)$。