具体数学:和式(一) 定义和与递归式的转化

第二章 和式

2.1 记号

2.1.1 省略号与一般和式

• 省略号的使用与局限

省略号 ... 表示项之间的可识别模式。例如：
$$1+2+3+\cdots +n$$
表示前 $n$ 个正整数之和。

若模式不明确，表达式无意义。 例如：
$$1+7+\cdots +41.7$$
在没有上下文的情况下无法确定其规律。

当模式清晰时，无需过度指定。 写成 $1+2+\cdots +n$ 已足够清楚，甚至可简写为 $1+\cdots +n$。

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• 一般和式与项的定义

考虑一般形式的和：
$$a_1+a_2+\cdots +a_n\text{\hspace{1em}(2.1)}$$
其中每个 $a_k$ 是用某种方式定义的一个数。

和式的每个元素 $a_k$ 称为项（term）。项常常隐含一个容易领会的模式。在这样的情形下，有时必须把它们写成展开的形式，以使意义清楚明白。

例如，设想：
$$1+2+\cdots +2^{n-1}$$
若要表示 $n$ 项之和，而不是 $2^{n-1}$ 项之和，就应该更明确地写成：
$$2^0+2^1+\cdots +2^{n-1}$$

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2.1.2 Σ符号

省略号“…”可能含糊不清且有点冗长。另一种方式是使用有确定界限的表达形式：
$$\sum _{k=1}^n{a}_k\text{\hspace{1em}(2.2)}$$
称为 Σ 符号，因使用希腊字母 Σ（大写 σ）。

这个记号表示：**求和指标 $k$ 取从 1 到 $n$ 之间的所有整数值（含端点），并对对应的 $a_k$ 求和。**换句话说，“对 $k$ 从 1 到 $n$ 求和”。

Σ 后面的量（如 $a_k$）称为被加数（summand）。

指标变量 $k$ 与 Σ 符号密切相关，$a_k$ 中的 $k$ 与 Σ 外出现的 $k$ 无关。**任何其他字母都可以替代这里的 $k$ 而不会改变 (2.2) 的含义。

常常会使用字母 $i$（似乎是因为它代表"指标"index），但我们一般还是对 $k$ 求和，因为 $i$ 另有重任要表示 $\sqrt{-1}$。

不应使用 $a$ 或 $n$ 来替代式 (2.2) 中的 $k$ 作为指标变量，因为那些字母是"自由变量"，在 Σ 之外是有意义的。

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一种推广的 Σ 符号比有确定界限的形式更加有用：我们直接把一个或多个条件写在 Σ 的下面，以此指定求和所应该取的指标集。

例如，(2.1) 和 (2.2) 中的和式也可以写成：
$$\sum _{1\le k\le n}{a}_k\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

在这个例子中，新形式与 (2.2) 没有太大区别，但一般形式允许我们对不限于连续整数的指标求和。

• 优点一：清晰

示例1：正奇数的平方和

不超过 100 的所有正奇数的平方和可表示为：
$$\sum _{\begin{array}{c}1\le k<100\\ k\text{为奇数}\end{array}}{k}^2$$
而其有确定界限的等价形式：
$$\sum _{k=0}^{49}(2k+1{)}^2$$
更加繁琐不便，且不清晰。

示例2：素数的倒数之和

1 与 $N$ 之间所有素数的倒数之和是：
$$\sum _{\begin{array}{c}p\le N\\ p\text{为素数}\end{array}}\frac{1}{p}$$
而有确定界限的形式则需要写成：
$$\sum _{k=1}^{\pi (N)}\frac{1}{p_k}$$
其中 $p_k$ 表示第 $k$ 个素数，$\pi (N)$ 是 $\le N$ 的素数个数。

附带指出，这个和式给出了接近 $N$ 的随机整数的不同素因子的近似平均个数，因为那些整数中大约有 $1/p$ 个能被 $p$ 整除。对于大的 $N$，它的值近似等于 $\ln \ln N+M$，其中
$$M\approx 0.2614972128476427837554268386086958590515666$$
是麦尔滕常数，$\ln x$ 表示 $x$ 的自然对数，而 $\ln \ln x$ 表示 $\ln (\ln x)$。

优点二：容易变动

假设要将指标变量 $k$ 改变成 $k+1$。

使用推广形式：
$$\sum _{1\le k\le n}{a}_k=\sum _{1\le k+1\le n}{a}_{k+1}$$
很容易看出所做的变动，几乎不需要思考。

而对于有确定界限的形式：
$$\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=0}^{n-1}{a}_{k+1}$$
不容易看出发生了什么变化，而且更容易犯错误。

• 当要陈述一个问题或表述一个结论时，常使用带有上下确定界限的 Σ；
• 当处理一个需要对指标变量做变换的和式时，则更愿意用在 Σ 下方列出关系的形式。

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推广Σ的形式定义

形式上，我们将：
$$\sum _{P(k)}{a}_k\text{\hspace{1em}(2.4)}$$
记为所有项 $a_k$ 之和的缩写，其中 $k$ 是满足给定性质 $P(k)$ 的一个整数。（"性质 $P(k)$"是关于 $k$ 的任何一个为真或者为假的命题。）

我们暂时假定仅有有限多个满足 $P(k)$ 的整数 $k$ 使得 $a_k\ne 0$；否则会有无穷多个非零的数相加，事情就会有点儿复杂。

在另一种极端情形，如果对所有的整数 $k$，$P(k)$ 都不为真，我们就有一个"空的"和，任何空的和的值都定义为零。

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• 错误用法案例

人们常常想要使用：
$$\sum _{k=2}^{n-1}k(k-1)(n-k)$$
而不是：
$$\sum _{k=0}^{n}k(k-1)(n-k)$$
因为在这个和式中 $k=0,1$ 以及 $n$ 的项都等于零。将 $n-2$ 项相加而不是将 $n+1$ 项相加往往更为有效。

但是不应该这样想，因为计算的有效性并不等同于理解的有效性！

我们会发现，保持求和指标的上下限尽可能简单大有裨益，因为当求和的界限简单时，处理起来要容易得多。

使用如 ${\sum }_{k=2}^{n-1}$ 这样的求和界限可能存在含糊不清的风险。

• 当 $n=0$ 或 $n=1$ 时，下限 $k=2$ 大于上限 $n-1\le 0$，此时求和范围为空，但其含义在未明确定义时并不清晰。
• 相比之下，包含额外项但其值为零的和式不会带来问题，反而常常免除许多麻烦。

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• 艾弗森约定

对于任意命题 $P$，定义：
$$[P]=\{\begin{array}{ll}1,& \text{如果 }P\text{ 为真};\\ 0,& \text{如果 }P\text{ 为假}.\end{array}$$

例如：
$$[p\text{ 是素数}]=\{\begin{array}{ll}1,& p\text{ 是素数};\\ 0,& p\text{ 不是素数}.\end{array}$$

利用艾弗森约定，我们可以将推广的Σ和式 (2.4) 重新写为：
$$\sum _k{a}_k[P(k)]\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

• 这里求和指标 $k$ 取所有整数，不再显式限制范围。
• 当 $P(k)$ 为假时，$[P(k)]=0$，因此 $a_k[P(k)]=0$，该项对和式无贡献。
• 所有“有效项”自动被保留，无效项被自然过滤。

求和不再需要在Σ下方写条件，指标可以自由流动，极大简化代数操作。

有时 $a_k$ 并非对所有整数 $k$ 都有定义（例如 $a_k=1/k$ 在 $k=0$ 时无定义）。

我们约定：当 $P(k)$ 为假时，$[P(k)]=0$，且

$a_k[P(k)]=0$，即使 $a_k$ 本身无定义。

这一约定规避了未定义表达式的问题。

示例

利用艾弗森约定，可将不超过 $N$ 的素数倒数之和写为：
$$\sum _p[p\text{ 是素数}][p\le N]/p$$

• 当 $p=0$ 时，$[0\text{ 是素数}]=0$，因此项为 $0/0\times 0$，但根据约定，整个项为 0。
• 不会出现除以零的问题，因为 $[P(k)]=0$ 强制该项为零。

2.2 和式与递归式

和式与递归式之间存在密切关系，可以使用递推式求和式的值。

考虑和式：
$$S_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$$
它可以被看作一个定义在 $n\ge 0$ 上的序列，满足递归关系：
$$S_0=a_0;S_n=S_{n-1}+a_n,n>0\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

这种“和式 ⇔ 递归式”的转换，使我们能借用第1章中求解递归式的封闭形式方法来计算和式。

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2.2.1 和式->递归式

[!IMPORTANT]

标准递推式：
$$R_0=\alpha ;R_n=R_{n-1}+\beta +\gamma n,n>0$$

只能处理被加数是线性函数的和式，即：
$$\sum _{k=0}^n(\beta +\gamma k)$$

考虑如下形式的递归式：
$$R_0=\alpha ;$$
$$R_n=R_{n-1}+\beta +\gamma n,n>0\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

这是形如 $a_k=\beta +\gamma k$ 的和式的递归形式。

通解和成套方法

我们尝试将通解形式
$$R_n=A(n)\alpha +B(n)\beta +C(n)\gamma \text{\hspace{1em}(2.8)}$$
中的 $R_n$ 替换为简单的已知函数，通过匹配递推关系 (2.7) 反推出对应的参数 $\alpha ,\beta ,\gamma$，从而确定系数函数 $A(n),B(n),C(n)$。

令 $R_n=1$（常数函数）

• 此时对所有 $n$，有 $R_n=1$，且 $R_0=1\Rightarrow \alpha =1$。
• 递推式右边：
  $$R_{n-1}+\beta +\gamma n=1+\beta +\gamma n$$
• 左边为 $R_n=1$，故要求：
  $$1=1+\beta +\gamma n\Rightarrow \beta +\gamma n=0\text{对所有 }n>0$$
• 唯一可能：$\beta =0,\gamma =0$。

代入 (2.8)：
$$1=A(n)\cdot 1+B(n)\cdot 0+C(n)\cdot 0\Rightarrow A(n)=1$$

得到：
$$A(n)=1$$

---

令 $R_n=n$（线性函数）

• 此时 $R_0=0\Rightarrow \alpha =0$。
• 递推式右边：
  $$R_{n-1}+\beta +\gamma n=(n-1)+\beta +\gamma n$$
• 左边为 $R_n=n$，故要求：
  $$n=(n-1)+\beta +\gamma n$$
  整理得：
  $$n=n-1+\beta +\gamma n\Rightarrow 0=-1+\beta +\gamma n$$
• 对所有 $n>0$ 成立，必须有：
  $$\gamma =0,\beta =1$$

代入 (2.8)：
$$n=A(n)\cdot 0+B(n)\cdot 1+C(n)\cdot 0\Rightarrow B(n)=n$$

得到：
$$B(n)=n$$

---

令 $R_n=n^2$（平方函数）

• 此时 $R_0=0^2=0\Rightarrow \alpha =0$。
• 递推式右边：
  $$R_{n-1}+\beta +\gamma n=(n-1{)}^2+\beta +\gamma n=n^2-2n+1+\beta +\gamma n$$
• 左边为 $R_n=n^2$，故要求：
  $$n^2=n^2-2n+1+\beta +\gamma n$$
  两边减去 $n^2$：
  $$0=-2n+1+\beta +\gamma n$$
  整理为：
  $$(\gamma -2)n+(\beta +1)=0\text{对所有 }n>0$$
• 要使该式恒成立，系数必须为零：
  $$\begin{gathered} \gamma -2=0\Rightarrow \gamma =2 \\ \beta +1=0\Rightarrow \beta =-1 \end{gathered}$$

代入 (2.8)：
$$n^2=A(n)\cdot 0+B(n)\cdot (-1)+C(n)\cdot 2=-B(n)+2C(n)$$

但我们已知 $B(n)=n$，代入得：
$$n^2=-n+2C(n)\Rightarrow 2C(n)=n^2+n\Rightarrow C(n)=\frac{n^2+n}{2}$$

得到：
$$C(n)=\frac{n(n+1)}{2}$$

我们已得：
$$A(n)=1,B(n)=n,C(n)=\frac{n(n+1)}{2}$$

通解为：
$$R_n=\alpha \cdot 1+\beta \cdot n+\gamma \cdot \frac{n(n+1)}{2}$$

现在验证它是否满足原始递推式：
$$R_n=R_{n-1}+\beta +\gamma n$$

计算右边：
$$R_{n-1}+\beta +\gamma n=\alpha +\beta (n-1)+\gamma \cdot \frac{(n-1)n}{2}+\beta +\gamma n$$
$$=\alpha +\beta n-\beta +\gamma \cdot \frac{n(n-1)}{2}+\beta +\gamma n$$
$$=\alpha +\beta n+\gamma \left(\frac{n(n-1)}{2}+n\right)=\alpha +\beta n+\gamma \cdot \frac{n^2+n}{2}$$

这正是 $R_n$ 的表达式。

具体和式应用

我们想计算：
$$\sum _{k=0}^n(a+bk)$$

第一步：建立递归关系

设：
$$S_n=\sum _{k=0}^n(a+bk)$$

我们可以建立递归关系：

• 基础情况：当 $n=0$ 时，
  $$S_0=a+b\cdot 0=a$$

• 递推关系：当 $n>0$ 时，
  $$S_n=S_{n-1}+(a+bn)$$
  即：
  $$S_n=S_{n-1}+a+bn$$

第二步：匹配标准递归式形式

将上述递归式与标准形式 (2.7) 对比：
$$R_0=\alpha ;R_n=R_{n-1}+\beta +\gamma n,n>0$$

我们有：

• $R_n=S_n$
• $\alpha =a$（初始值）
• $\beta =a$（常数项系数）
• $\gamma =b$（线性项系数）

第三步：应用通解公式

根据已求得的系数函数：
$$A(n)=1,B(n)=n,C(n)=\frac{n(n+1)}{2}$$

代入通解：
$$S_n=\alpha \cdot A(n)+\beta \cdot B(n)+\gamma \cdot C(n)$$

$$S_n=a\cdot 1+a\cdot n+b\cdot \frac{n(n+1)}{2}$$

$$S_n=a+an+\frac{bn(n+1)}{2}$$

$$S_n=a(1+n)+\frac{bn(n+1)}{2}$$

$$S_n=a(n+1)+\frac{bn(n+1)}{2}$$

第四步：提取公因子
$$S_n=(n+1)\left(a+\frac{bn}{2}\right)$$

或者写成：
$$\sum _{k=0}^n(a+bk)=a(n+1)+\frac{bn(n+1)}{2}$$

验证特殊情况

• 当 $a=1,b=0$ 时：
  $$\sum _{k=0}^{n}1=n+1$$
  正确

• 当 $a=0,b=1$ 时：
  $$\sum _{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$
  正确

[!NOTE]

解题思路:

1. 将和式转化为递归式

   • 设 $S_n={\sum }_{k=0}^{n}f(k)$
   • 建立递归关系：$S_n=S_{n-1}+f(n)$，$S_0=f(0)$

2. 识别递归式参数

   • 将具体递归式与标准形式 $R_n=R_{n-1}+\beta +\gamma n$ 对比
   • 确定参数 $\alpha ,\beta ,\gamma$

3. 应用成套方法求通解

   • 利用已知的系数函数：$A(n)=1,B(n)=n,C(n)=\frac{n(n+1)}{2}$
   • 代入通解公式：$S_n=\alpha A(n)+\beta B(n)+\gamma C(n)$

4. 得到封闭形式

   • 化简得到和式的闭形式解

[!IMPORTANT]

为什么可以直接套用

我们的标准递归式：
$$R_0=\alpha ;R_n=R_{n-1}+\beta +\gamma n,n>0$$

这是一个关于参数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 的线性表达式。

通解形式：
$$R_n=A(n)\alpha +B(n)\beta +C(n)\gamma$$

这表明 $R_n$ 是参数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 的线性组合。

由于递归式是线性的，我们可以利用叠加原理：

• 如果 $R_n^{(1)}$ 对应参数 $({\alpha }_1,{\beta }_1,{\gamma }_1)$
• 如果 $R_n^{(2)}$ 对应参数 $({\alpha }_2,{\beta }_2,{\gamma }_2)$
• 那么 $c_1{R}_n^{(1)}+c_2{R}_n^{(2)}$ 对应参数 $(c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2,c_1{\beta }_1+c_2{\beta }_2,c_1{\gamma }_1+c_2{\gamma }_2)$

我们选择三个简单的基底函数来确定系数：

基底函数	参数	确定的系数
$R_n=1$	$\alpha =1,\beta =0,\gamma =0$	$A(n)=1$
$R_n=n$	$\alpha =0,\beta =1,\gamma =0$	$B(n)=n$
$R_n=n^2$	$\alpha =0,\beta =-1,\gamma =2$	$C(n)=\frac{n(n+1)}{2}$

因为：

1. 任何满足该递归式的函数都可以表示为这三个基底的线性组合
2. 系数函数 A(n), B(n), C(n) 只依赖于递归式的结构，而不依赖于具体的参数值
3. 一旦确定了这三个系数函数，它们对所有同类型递归式都适用

这实际上是在求解一个线性算子的基底表示：

• 递归式定义了一个从参数空间 $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ 到解空间的线性映射
• $A(n),B(n),C(n)$ 就是这个线性映射在标准基底下的表示

对于 $R_n=5n+3$：

1. 可以分解为：$R_n=3\cdot 1+5\cdot n+0\cdot \frac{n(n+1)}{2}$
2. 对应参数：$\alpha =3,\beta =5,\gamma =0$
3. 直接套用：$R_n=3\cdot A(n)+5\cdot B(n)+0\cdot C(n)=3\cdot 1+5\cdot n=3+5n$

2.2.2 递归式->和式

引例：河内塔递归式

经典递归式：
$$T_0=0;T_n=2T_{n-1}+1,n>0$$

两边同除 $2^n$：
$$\frac{T_n}{2^n}=\frac{T_{n-1}}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}$$

令 $S_n=T_n/2^n$，则：
$$S_0=0;S_n=S_{n-1}+2^{-n},n>0$$

于是：
$$S_n=\sum _{k=1}^n{2}^{-k}$$

注意：和式从 $k=1$ 开始，因为递推从 $n>0$ 开始，$S_1=2^{-1}$。

这是一个几何级数：

[!NOTE]

几何级数（Geometric Series）是各项之间具有固定比例关系的无穷级数。

一般形式

$$\sum _{k=0}^{\infty }a{r}^k=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots$$

其中：

• $a$：首项（first term）
• $r$：公比（common ratio）

有限几何级数
$$\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=a+ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^n$$

收敛条件

几何级数收敛当且仅当 $|r|<1$

发散情况

• 当 $|r|\ge 1$ 时，级数发散
• 当 $r=1$ 时，级数变为 $\sum a$，发散到无穷
• 当 $r=-1$ 时，级数振荡发散
• 当 $|r|>1$ 时，级数绝对值发散到无穷

有限几何级数求和
$$\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r},r\ne 1$$

推导过程：
设 $S_n=a+ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^n$

则 $r{S}_n=ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^{n+1}$

两式相减：$S_n-r{S}_n=a-a{r}^{n+1}$

因此：$S_n=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$

无穷几何级数求和

当 $|r|<1$ 时：
$$\sum _{k=0}^{\infty }a{r}^k=\frac{a}{1-r}$$

推导：当 $|r|<1$ 时，${\lim }_{n\to \infty }{r}^{n+1}=0$，所以：
$$\sum _{k=0}^{\infty }a{r}^k=\underset{n\to \infty }{\lim }a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}=\frac{a}{1-r}$$

基本几何级数
$$\sum _{k=0}^{\infty }{r}^k=\frac{1}{1-r},|r|<1$$

从k=1开始
$$\sum _{k=1}^{\infty }{r}^k=\frac{r}{1-r},|r|<1$$

交错级数
$$\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{r}^k=\frac{1}{1+r},|r|<1$$

核心公式
$$\boxed{\sum _{k=0}^{\infty }a{r}^k=\frac{a}{1-r},|r|<1}$$

收敛条件
$$\boxed{|r|<1\text{ 时收敛，}|r|\ge 1\text{ 时发散}}$$

有限和公式
$$\boxed{\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r},r\ne 1}$$

$$\sum _{k=1}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^k=\frac{1/2\left(1-(1/2{)}^n\right)}{1-1/2}=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$$

因此：
$$T_n=2^n{S}_n=2^n\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)=2^n-1$$

---

一般化：求和因子法

一般形式

考虑线性递归式：
$$a_n{T}_n=b_n{T}_{n-1}+c_n\text{\hspace{1em}(2.9)}$$

[!NOTE]

河内塔递归式：
$$T_0=0;T_n=2T_{n-1}+1,n>0$$

将其重写为标准形式：
$$1\cdot T_n=2\cdot T_{n-1}+1$$

这里 $a_n=1,b_n=2,c_n=1$。

思想：乘以一个求和因子 $s_n$，使得：
$$s_n{a}_n{T}_n=s_n{b}_n{T}_{n-1}+s_n{c}_n$$
并令：
$$s_n{b}_n=s_{n-1}{a}_{n-1}$$

[!NOTE]

我们想要找到 $s_n$ 使得 $s_n\cdot 2=s_{n-1}\cdot 1$，即：
$$s_n=\frac{s_{n-1}}{2}$$

这给出 $s_n=2^{-n}$（取 $s_0=1$）。

这样定义：
$$S_n=s_n{a}_n{T}_n$$
则递推变为：
$$S_n=S_{n-1}+s_n{c}_n$$

[!NOTE]

对于河内塔：

• $S_n=2^{-n}\cdot 1\cdot T_n=\frac{T_n}{2^n}$
• $s_n{c}_n=2^{-n}\cdot 1=\frac{1}{2^n}$

所以得到：
$$\frac{T_n}{2^n}=\frac{T_{n-1}}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}$$

即：
$$S_n=S_{n-1}+\frac{1}{2^n}$$

即：
$$S_n=S_0+\sum _{k=1}^n{s}_k{c}_k=s_0{a}_0{T}_0+\sum _{k=1}^n{s}_k{c}_k$$

由于 $s_1{b}_1=s_0{a}_0$，故 $s_0{a}_0=s_1{b}_1$，所以：
$$S_n=s_1{b}_1{T}_0+\sum _{k=1}^n{s}_k{c}_k$$

[!NOTE]

对于河内塔：

• $S_0=2^{-0}\cdot 1\cdot 0=0$
• $s_k{c}_k=2^{-k}\cdot 1=\frac{1}{2^k}$

所以：
$$S_n=0+\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^n}$$

最终解为：
$$T_n=\frac{1}{s_n{a}_n}\left(s_1{b}_1{T}_0+\sum _{k=1}^n{s}_k{c}_k\right)\text{\hspace{1em}(2.10)}$$

[!NOTE]

对于河内塔：

• $s_n{a}_n=2^{-n}\cdot 1=2^{-n}$
• $s_1{b}_1{T}_0=2^{-1}\cdot 2\cdot 0=0$
• ${\sum }_{k=1}^n{s}_k{c}_k={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^n}$

所以：
$$T_n=\frac{1}{2^{-n}}\left(0+1-\frac{1}{2^n}\right)=2^n\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=2^n-1$$

💡 $s_1$ 可取任意非零值，因为它在分子分母中成比例消去。

---

求和因子的构造

递推关系

由关键关系 $s_n{b}_n=s_{n-1}{a}_{n-1}$，可得：
$$s_n=s_{n-1}\cdot \frac{a_{n-1}}{b_n}$$

递推展开
$$s_n=s_{n-1}\cdot \frac{a_{n-1}}{b_n}=s_{n-2}\cdot \frac{a_{n-2}}{b_{n-1}}\cdot \frac{a_{n-1}}{b_n}=\cdots$$

通项公式
$$s_n=\frac{a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_1}{b_n{b}_{n-1}\cdots b_2}\cdot s_1\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

这给出了求和因子的一般构造方法（相差一个非零常数倍数）。

[!NOTE]

对于河内塔：$a_n=1,b_n=2$

$$s_n=\frac{1\cdot 1\cdots 1}{2\cdot 2\cdots 2}\cdot s_1=\frac{1}{2^{n-1}}\cdot s_1$$

取 $s_1=\frac{1}{2}$，则 $s_n=\frac{1}{2^n}$，这正是我们之前使用的求和因子！

前提条件：所有 $a_n\ne 0$, $b_n\ne 0$，否则无法进行除法运算。

方法总结

1. 识别标准形式：将递归式写成 $a_n{T}_n=b_n{T}_{n-1}+c_n$
2. 构造求和因子：使用 $s_n=\frac{a_{n-1}\cdots a_1}{b_n\cdots b_2}$
3. 乘以求和因子：得到 $S_n=S_{n-1}+s_n{c}_n$
4. 求和求解：$S_n=S_0+{\sum }_{k=1}^n{s}_k{c}_k$
5. 还原原变量：$T_n=\frac{S_n}{s_n{a}_n}$

[!NOTE]

河内塔如何用这套方法解决：

1. 标准形式：$1\cdot T_n=2\cdot T_{n-1}+1$
2. 求和因子：$s_n=\frac{1}{2^n}$
3. 变换：$\frac{T_n}{2^n}=\frac{T_{n-1}}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}$
4. 求和：$\frac{T_n}{2^n}={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^n}$
5. 还原：$T_n=2^n-1$

应用：快速排序

[!CAUTION]

def partition(A, p, r):
    """
    将子数组 A[p..r] 按主元划分成两部分：

   - 左侧：所有元素 ≤ 主元
     - 右侧：所有元素 > 主元
       主元为 A[r]，最终放置在正确位置并返回其索引。
	参数：
	A: 待划分的数组
	p: 子数组起始索引（包含）
	r: 子数组结束索引（包含）

	返回值：
	主元的最终位置（索引）
	"""
	x = A[r]        # 选择最后一个元素作为主元
	i = p - 1       # i 指向小于等于主元区域的最后一个位置

	# 遍历从 p 到 r-1 的每个元素
	for j in range(p, r):
    	# 如果当前元素小于等于主元
    	if A[j] <= x:
        	i += 1  # 扩展小于等于区域
        	A[i], A[j] = A[j], A[i]  # 将 A[j] 交换到左侧区域

	# 将主元 A[r] 放置到正确位置（i+1）
	A[i + 1], A[r] = A[r], A[i + 1]

	return i + 1  # 返回主元的索引

def quicksort(A, p, r):
    """
    快速排序主函数：对数组 A[p..r] 进行原址排序。
	参数：
	A: 待排序数组
	p: 当前排序区间的起始索引
	r: 当前排序区间的结束索引
	"""
	if p < r:  # 基本情况：当 p >= r 时，子数组长度 <= 1，无需排序
    	q = partition(A, p, r)      # 划分数组，q 为主元的最终位置
    	quicksort(A, p, q - 1)      # 递归排序左半部分 A[p..q-1]
    	quicksort(A, q + 1, r)      # 递归排序右半部分 A[q+1..r]

快速排序由霍尔于1962年发明，其平均比较次数满足递归式：
$$C_0=C_1=0;$$
$$C_n=n+1+\frac{2}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{C}_k,n>1\text{\hspace{1em}(2.12)}$$

化简递归式

先消去分母：两边乘 $n$：
$$n{C}_n=n^2+n+2\sum _{k=0}^{n-1}{C}_k,n>1$$

将 $n$ 替换为 $n-1$（要求 $n>2$）：
$$(n-1)C_{n-1}=(n-1{)}^2+(n-1)+2\sum _{k=0}^{n-2}{C}_k$$

两式相减，消去求和号：
$$n{C}_n-(n-1)C_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1{)}^2+(n-1)]+2C_{n-1}$$
$$=(n^2+n)-(n^2-2n+1+n-1)+2C_{n-1}=2n+2C_{n-1}$$

整理得：
$$n{C}_n=(n+1)C_{n-1}+2n,n>2$$

初始值：$C_0=C_1=0$, $C_2=3$

应用求和因子法

此式为 (2.9) 形式，其中：

• $a_n=n$
• $b_n=n+1$
• $c_n=2n$，但需注意 $n=1,2$ 的初始条件，可用艾弗森约定修正：
  $$c_n=2n-2[n=1]+2[n=2]$$

[!NOTE]

修正原因：

• 项 $-2[n=1]$：
  当 $n=1$，原式左边为 $1\cdot C_1=0$，右边为 $2C_0+2\cdot 1=0+2=2$，多出 2。
  ⇒ 减去 2 以使等式成立。

• 项 $+2[n=2]$：
  当 $n=2$，实际 $C_2=3$，代入左边：$2\cdot 3=6$，右边：$3C_1+2\cdot 2=0+4=4$，少 2。
  ⇒ 加上 2 以匹配真值。

求和因子：
$$s_n=\frac{a_{n-1}\cdots a_1}{b_n\cdots b_2}=\frac{(n-1)!}{(n+1)n\cdots 3}=\frac{(n-1)!\cdot 2}{(n+1)!}=\frac{2}{(n+1)n}$$

取 $s_n=\frac{2}{n(n+1)}$

由线性递推通解公式（(2.10)）：
$$C_n=\frac{1}{s_n{a}_n}\left(s_1{b}_1{C}_0+\sum _{k=1}^n{s}_k{c}_k\right)$$

已知：

• $C_0=0$ ⇒ $s_1{b}_1{C}_0=0$
• $a_n=n$, $s_n=\frac{2}{n(n+1)}$ ⇒ $s_n{a}_n=\frac{2}{n+1}$
• 所以：
  $$C_n=\frac{1}{s_n{a}_n}\sum _{k=1}^n{s}_k{c}_k=\frac{n+1}{2}\sum _{k=1}^n{s}_k{c}_k$$

我们有：
$$s_k=\frac{2}{k(k+1)},c_k=2k-2[k=1]+2[k=2]$$

所以：
$$s_k{c}_k=s_k\cdot 2k-2s_k[k=1]+2s_k[k=2]$$

逐项计算：

(1) 主项：$s_k\cdot 2k=\frac{2}{k(k+1)}\cdot 2k=\frac{4}{k+1}$

(2) 修正项：

• 当 $k=1$：$-2s_1=-2\cdot \frac{2}{1\cdot 2}=-2\cdot 1=-2$
• 当 $k=2$：$+2s_2=+2\cdot \frac{2}{2\cdot 3}=+2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
• 其他 $k$：修正项为 0

所以总和：
$$\sum _{k=1}^n{s}_k{c}_k=\sum _{k=1}^n\frac{4}{k+1}-2[k=1]+2[k=2]\text{（仅在 }k=1,2\text{ 处有额外修正）}$$

即：
$$\sum _{k=1}^n{s}_k{c}_k=4\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+1}-2\cdot {\delta }_{k1}+2\cdot {\delta }_{k2}=4\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+1}-2+\frac{2}{3}\text{（因为只在 }k=1,2\text{ 发生）}$$

注意：求和中的修正项是固定的数值，不是对每个 $k$ 都加，而是当 $k=1$ 时减 2，$k=2$ 时加 $\frac{2}{3}$，所以总修正为：
$$-2+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$$

因此：
$$\sum _{k=1}^n{s}_k{c}_k=4\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+1}-\frac{4}{3}$$

$$C_n=\frac{n+1}{2}\sum _{k=1}^n{s}_k{c}_k=\frac{n+1}{2}\left(4\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+1}-\frac{4}{3}\right)=\frac{n+1}{2}\cdot 4\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+1}-\frac{1}{3}\right)$$

$$=2(n+1)\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+1}-\frac{1}{3}\right)=2(n+1)\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+1}-\frac{2}{3}(n+1)$$

最终结果
$$\boxed{C_n=2(n+1)\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+1}-\frac{2}{3}(n+1),n>1}$$

使用调和数计算最终结果

定义调和数：
$$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\text{\hspace{1em}(2.13)}$$
将和式用调和数表示：
$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+1}=H_{n+1}-1,\text{其中 }{H}_{n+1}=\sum _{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}$$

代入得：
$$C_n=2(n+1)(H_{n+1}-1)-\frac{2}{3}(n+1)=2(n+1)\left(H_{n+1}-\frac{4}{3}\right)$$
验证小值：

$n=2$:
$H_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}$,
$C_2=2(3)\left(\frac{11}{6}-\frac{4}{3}\right)=6\left(\frac{11}{6}-\frac{8}{6}\right)=6\cdot \frac{3}{6}=3$

$n=3$:
$H_4=\frac{11}{6}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}$,
$C_3=2(4)\left(\frac{25}{12}-\frac{4}{3}\right)=8\left(\frac{25}{12}-\frac{16}{12}\right)=8\cdot \frac{9}{12}=6$