线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章 线性代数中的线性方程组 1.6 线性方程组的应用

1.6

1. 假设一个经济体系有农业、矿业和制造业三个部门．农业部门销售它的产出的5%给矿业部门，30%给制造业部门，保留余下的产出．矿业部门销售它的产出的20%给农业部门，70%给制造业部门，保留余下的产出．制造业部门销售它的产出的20%给农业部门，30%给矿业部门，保留余下的产出．构建该经济体系的交易表，表中的列给出各个部门的产出如何分配给其他部门

解答：
将比例用小数表示，由于要考虑所有的产出，故每列的元素之和等于1，每一列代表该部门的产出。

交易表

采购部门	农业	矿业	制造业
农业	0.65	0.20	0.20
矿业	0.05	0.10	0.30
制造业	0.30	0.70	0.50

结论：
交易表如上所示，每列表示该部门产出的分配比例，列和为1。

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1. 假设一个经济体系只有商品和服务两个部门．在每一年中，商品部门销售它的总产出的80%给服务部门，而保留余下的产出；服务部门销售它的总产出的70%给商品部门，保留余下的产出．找出商品和服务部门的年度产出的平衡价格，使得每一部门的收支平衡．

解答：
逐年填写交易表，每列小数之和为1。

交易表

采购部门	商品	服务
商品	0.2	0.7
服务	0.8	0.3

设 $p_G$ 和 $p_S$ 分别为商品和服务部门的总产出（美元）。
商品部门平衡方程：$p_G=0.2p_G+0.7p_S$
服务部门平衡方程：$p_S=0.8p_G+0.3p_S$

移项整理得：
$$\{\begin{array}{l}0.8p_G-0.7p_S=0\\ -0.8p_G+0.7p_S=0\end{array}$$

增广矩阵行化简：
$$\left[\begin{array}{ccc}0.8& -0.7& 0\\ -0.8& 0.7& 0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1& -0.875& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

通解为 $p_G=0.875p_S$，$p_S$ 自由。

结论：
一组平衡价格为 $p_S=1000,p_G=875$。若用分数表示，$p_G=\frac{7}{8}{p}_S$，可取 $p_S=80,p_G=70$。只有价格比例重要，经济均衡不受价格按比例缩放的影响。

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考虑一个由燃料动力、化学金属和机器三个部门构成的经济体系．化学金属部门销售30%的产出给燃料动力部门和50%的产出给机器部门，保留余下的产出．燃料动力部门销售80%的产出给化学金属部门和10%的产出给机器部门，保留余下的产出．机器部门销售40%的产出给化学金属部门和40%的产出给燃料动力部门，保留余下的产出．
a. 构建该经济体系的交易表．
b. 建立方程组表示各部门收支平衡的条件．写出对应的增广矩阵以便行化简求平衡价格．
c. [M] 找出当机器部门产出的价格是100个单位时的一组平衡价格

解答：
a. 交易表（按列填写，每列之和为1）

采购部门	化学金属	燃料动力	机器
化学金属	0.2	0.8	0.4
燃料动力	0.3	0.1	0.4
机器	0.5	0.1	0.2

b. 设 $p_C,p_F,p_M$ 为各部门总产出
化学金属部门：$p_C=0.2p_C+0.8p_F+0.4p_M$
燃料动力部门：$p_F=0.3p_C+0.1p_F+0.4p_M$
机器部门：$p_M=0.5p_C+0.1p_F+0.2p_M$

移项得：
$$\{\begin{array}{l}0.8p_C-0.8p_F-0.4p_M=0\\ -0.3p_C+0.9p_F-0.4p_M=0\\ -0.5p_C-0.1p_F+0.8p_M=0\end{array}$$

增广矩阵（每行乘以10简化）：
$$\left[\begin{array}{cccc}8& -8& -4& 0\\ -3& 9& -4& 0\\ -5& -1& 8& 0\end{array}\right]$$

c. 行化简得：$p_C=1.417p_M,p_F=0.917p_M$，$p_M$ 自由。
当 $p_M=100$ 时，$p_C=141.7,p_F=91.7$。

结论：
a. 交易表如上；
b. 方程组及增广矩阵如上；
c. 一组平衡价格为 $p_M=100,p_C\approx 141.7,p_F\approx 91.7$。只有价格比例确定，经济均衡不受货币单位影响。

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5. 硫化硼与水剧烈反应生成硼酸和硫化氢气体（臭蛋味）．未配平的化学反应式为
   $${\text{B}}_2{\text{S}}_3+{\text{H}}_2\text{O}\to {\text{H}}_3{\text{BO}}_3+{\text{H}}_2\text{S}$$

解答：
对每个化合物构建原子向量（硼、硫、氢、氧）：
${\text{B}}_2{\text{S}}_3:\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\\ 0\end{array}\right],{\text{H}}_2\text{O}:\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\\ 1\end{array}\right],{\text{H}}_3{\text{BO}}_3:\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\\ 3\end{array}\right],{\text{H}}_2\text{S}:\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 0\end{array}\right]$

设配平系数为 $x_1,x_2,x_3,x_4$，满足：
$$x_1\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\\ 1\end{array}\right]=x_3\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\\ 3\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 0\end{array}\right]$$

移项并化简增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccccc}2& 0& -1& 0& 0\\ 3& 0& 0& -1& 0\\ 0& 2& -3& -2& 0\\ 0& 1& -3& 0& 0\end{array}\right]\to \cdots \to \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& -\frac{1}{3}& 0\\ 0& 1& 0& -2& 0\\ 0& 0& 1& -\frac{2}{3}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

通解：$x_1=\frac{1}{3}{x}_4,x_2=2x_4,x_3=\frac{2}{3}{x}_4$，$x_4$ 自由。
取 $x_4=3$，则 $x_1=1,x_2=6,x_3=2$。

结论：
配平后的方程式为
$${\text{B}}_2{\text{S}}_3+6{\text{H}}_2\text{O}\to 2{\text{H}}_3{\text{BO}}_3+3{\text{H}}_2\text{S}$$

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6. 磷酸钠和硝酸钡反应生成磷酸钡和硝酸钠的未配平方程式为
   $${\text{Na}}_3{\text{PO}}_4+\text{Ba}({\text{NO}}_3{)}_2\to {\text{Ba}}_3({\text{PO}}_4{)}_2+{\text{NaNO}}_3$$

解答：
对每个化合物构建原子向量（钠、磷、氧、钡、氮）：
${\text{Na}}_3{\text{PO}}_4:\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 4\\ 0\\ 0\end{array}\right],\text{Ba}({\text{NO}}_3{)}_2:\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\\ 1\\ 2\end{array}\right],{\text{Ba}}_3({\text{PO}}_4{)}_2:\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 8\\ 3\\ 0\end{array}\right],{\text{NaNO}}_3:\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

设系数为 $x_1,x_2,x_3,x_4$，满足向量方程并移项化简增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccccc}3& 0& 0& -1& 0\\ 1& 0& -2& 0& 0\\ 4& 6& -8& -3& 0\\ 0& 1& -3& 0& 0\\ 0& 2& 0& -1& 0\end{array}\right]\to \cdots \to \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& -\frac{1}{3}& 0\\ 0& 1& 0& -\frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1& -\frac{1}{6}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

通解：$x_1=\frac{1}{3}{x}_4,x_2=\frac{1}{2}{x}_4,x_3=\frac{1}{6}{x}_4$，$x_4$ 自由。
取 $x_4=6$，得 $x_1=2,x_2=3,x_3=1$。

结论：
配平后的方程式为
$$2{\text{Na}}_3{\text{PO}}_4+3\text{Ba}({\text{NO}}_3{)}_2\to {\text{Ba}}_3({\text{PO}}_4{)}_2+6{\text{NaNO}}_3$$

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7. Alka-Seltzer碱性苏打包含碳酸氢钠（${\text{NaHCO}}_3$）和柠檬酸（${\text{H}}_3{\text{C}}_6{\text{H}}_5{\text{O}}_7$）．当一颗药片溶解在水中时，会发生化学反应生成柠檬酸钠、水和二氧化碳的反应为
$${\text{NaHCO}}_3+{\text{H}}_3{\text{C}}_6{\text{H}}_5{\text{O}}_7\to {\text{Na}}_3{\text{C}}_6{\text{H}}_5{\text{O}}_7+{\text{H}}_2\text{O}+{\text{CO}}_2$$

解答：
按原子出现顺序构建向量（钠、氢、碳、氧）：
${\text{NaHCO}}_3:\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 3\end{array}\right],{\text{H}}_3{\text{C}}_6{\text{H}}_5{\text{O}}_7:\left[\begin{array}{c}0\\ 8\\ 6\\ 7\end{array}\right],{\text{Na}}_3{\text{C}}_6{\text{H}}_5{\text{O}}_7:\left[\begin{array}{c}3\\ 5\\ 6\\ 7\end{array}\right],{\text{H}}_2\text{O}:\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right],{\text{CO}}_2:\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 2\end{array}\right]$

设系数为 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$，满足向量方程并移项化简：
$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -3& 0& 0& 0\\ 1& 8& -5& -2& 0& 0\\ 1& 6& -6& 0& -1& 0\\ 3& 7& -7& -1& -2& 0\end{array}\right]\to \cdots \to \left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& 0& -\frac{1}{3}& 0\\ 0& 0& 1& 0& -\frac{1}{3}& 0\\ 0& 0& 0& 1& -1& 0\end{array}\right]$$

通解：$x_1=x_5,x_2=\frac{1}{3}{x}_5,x_3=\frac{1}{3}{x}_5,x_4=x_5$，$x_5$ 自由。
取 $x_5=3$，得 $x_1=x_4=3,x_2=x_3=1$。

结论：
配平后的方程式为
$$3{\text{NaHCO}}_3+{\text{H}}_3{\text{C}}_6{\text{H}}_5{\text{O}}_7\to {\text{Na}}_3{\text{C}}_6{\text{H}}_5{\text{O}}_7+3{\text{H}}_2\text{O}+3{\text{CO}}_2$$

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8. 高锰酸钾和硫酸锰在水中反应生成二氧化锰、硫酸钾和硫酸的反应为
$${\text{KMnO}}_4+{\text{MnSO}}_4+{\text{H}}_2\text{O}\to {\text{MnO}}_2+{\text{K}}_2{\text{SO}}_4+{\text{H}}_2{\text{SO}}_4$$

解答：
构建原子向量（钾、锰、氧、硫、氢）：
${\text{KMnO}}_4:\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\\ 0\\ 0\end{array}\right],{\text{MnSO}}_4:\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\text{H}}_2\text{O}:\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 2\end{array}\right],{\text{MnO}}_2:\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}\right],{\text{K}}_2{\text{SO}}_4:\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 4\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\text{H}}_2{\text{SO}}_4:\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\\ 1\\ 2\end{array}\right]$

设系数为 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$，满足向量方程并移项化简：
$$\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& -2& 0& 0\\ 1& 1& 0& -1& 0& 0& 0\\ 4& 4& 1& -2& -4& -4& 0\\ 0& 1& 0& 0& -1& -1& 0\\ 0& 0& 2& 0& 0& -2& 0\end{array}\right]\to \cdots \to \left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& -1.5& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& -2.5& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& -0.5& 0\end{array}\right]$$

通解：$x_1=x_6,x_2=1.5x_6,x_3=x_6,x_4=2.5x_6,x_5=0.5x_6$，$x_6$ 自由。
取 $x_6=2$，得 $x_1=x_3=2,x_2=3,x_4=5,x_5=1$。

结论：
配平后的方程式为
$$2{\text{KMnO}}_4+3{\text{MnSO}}_4+2{\text{H}}_2\text{O}\to 5{\text{MnO}}_2+{\text{K}}_2{\text{SO}}_4+2{\text{H}}_2{\text{SO}}_4$$

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9. [M] 如果可能，使用精确的算术或合理的计算格式配平如下的化学反应方程式：
$${\text{PbN}}_6+{\text{CrMn}}_2{\text{O}}_8\to {\text{Pb}}_3{\text{O}}_4+{\text{Cr}}_2{\text{O}}_3+{\text{MnO}}_2+\text{NO}$$

解答：
构建原子向量（铅、氮、铬、锰、氧）：
${\text{PbN}}_6:\left[\begin{array}{c}1\\ 6\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],{\text{CrMn}}_2{\text{O}}_8:\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 2\\ 8\end{array}\right],{\text{Pb}}_3{\text{O}}_4:\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\\ 0\\ 4\end{array}\right],{\text{Cr}}_2{\text{O}}_3:\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\\ 0\\ 3\end{array}\right],{\text{MnO}}_2:\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 2\end{array}\right],\text{NO}:\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

设系数为 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$，满足向量方程并移项化简：
$$\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& -3& 0& 0& 0& 0\\ 6& 0& 0& 0& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& -2& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0& -1& 0& 0\\ 0& 8& -4& -3& -2& -1& 0\end{array}\right]\to \cdots \to \left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 0& -\frac{1}{6}& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& -\frac{22}{45}& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& -\frac{1}{18}& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& -\frac{11}{45}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& -\frac{44}{45}& 0\end{array}\right]$$

通解：$x_1=\frac{1}{6}{x}_6,x_2=\frac{22}{45}{x}_6,x_3=\frac{1}{18}{x}_6,x_4=\frac{11}{45}{x}_6,x_5=\frac{44}{45}{x}_6$，$x_6$ 自由。
取 $x_6=90$，得 $x_1=15,x_2=44,x_3=5,x_4=22,x_5=88$。

结论：
配平后的方程式为
$$15{\text{PbN}}_6+44{\text{CrMn}}_2{\text{O}}_8\to 5{\text{Pb}}_3{\text{O}}_4+22{\text{Cr}}_2{\text{O}}_3+88{\text{MnO}}_2+90\text{NO}$$

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11. 求下图中网络流量的通解．假设流量都是非负的，$x_5$ 可能的最大值是什么？

解答：
写出各节点方程：

节点	流入	流出
A	$x_1+x_3$	20
B	$x_2$	$x_3+x_4$
C	80	$x_1+x_2$
总计	80	$x_4+20$

整理得：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_3=20\\ x_2-x_3-x_4=0\\ x_1+x_2=80\\ x_4=60\end{array}$$

增广矩阵化简：
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 20\\ 0& 1& -1& -1& 0\\ 1& 1& 0& 0& 80\\ 0& 0& 0& 1& 60\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 20\\ 0& 1& -1& 0& 60\\ 0& 0& 0& 1& 60\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

通解：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=20-x_3\\ x_2=60+x_3\\ x_3是自由变量\\ x_4=60\end{array}$$
因为非负 所以 $x_3$ 最大是20