线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章线性代数中的线性方程组 1.4 矩阵方程Ax=b(1)

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1.4

练习题

1.
设 $\begin{bmatrix} 1 & 5 & -2 & 0 \\ -3 & -1 & 9 & -5 \\ 4 & -8 & -1 & 7 \end{bmatrix}$ ， $p=[3−20−4]\mathbf{p} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \\ -4 \end{bmatrix}$ ， $b=[−790]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -7 \\ 9 \\ 0 \end{bmatrix}$ ，可以证明 $p\mathbf{p}$ 是 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的一个解。应用这个事实把 $b\mathbf{b}$ 表示为 $A$ 的列的线性组合。

解答：

由 $Ap=bA\mathbf{p} = \mathbf{b}$ ，有：
$\mathbf{b} = A\mathbf{p} = p_1\mathbf{a}_1 + p_2\mathbf{a}_2 + p_3\mathbf{a}_3 + p_4\mathbf{a}_4$
其中 $a1,a2,a3,a4\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4$ 是 $A$ 的列向量， $p=(3,−2,0,−4)T\mathbf{p} = (3, -2, 0, -4)^T$
因此：
$\mathbf{b} = 3\mathbf{a}_1 - 2\mathbf{a}_2 + 0\mathbf{a}_3 - 4\mathbf{a}_4$

结论：
$b\mathbf{b}$ 是 $A$ 的列向量的线性组合： $b=3a1−2a2−4a4\mathbf{b} = 3\mathbf{a}_1 - 2\mathbf{a}_2 - 4\mathbf{a}_4$ 。

2.
设 $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ ， $u=[−41]\mathbf{u} = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix}$ ， $v=[−35]\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \end{bmatrix}$ ，通过计算矩阵 $A(u+v)A(\mathbf{u} + \mathbf{v})$ 和 $Au+AvA\mathbf{u} + A\mathbf{v}$ 来验证定理 5(a)。

解答：

计算 $u+v\mathbf{u} + \mathbf{v}$ ：
$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ 6 \end{bmatrix}$
计算 $A(u+v)A(\mathbf{u} + \mathbf{v})$ ：
$A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -7 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-7) + 5(6) \\ 3(-7) + 1(6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 \\ -15 \end{bmatrix}$
计算 $AuA\mathbf{u}$ 和 $AvA\mathbf{v}$ ：
$A\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-4) + 5(1) \\ 3(-4) + 1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -11 \end{bmatrix}$

$A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-3) + 5(5) \\ 3(-3) + 1(5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 \\ -4 \end{bmatrix}$
计算 $Au+AvA\mathbf{u} + A\mathbf{v}$ ：
$A\mathbf{u} + A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ -11 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 19 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 \\ -15 \end{bmatrix}$

结论：
$A(u+v)=Au+AvA(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v}$ ，验证了定理 5(a)。

3.
构造一个 $\times 3$ 的矩阵 $A$ 且使得 $b\mathbf{b}$ 和 $c∈R3\mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$ ，使得 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 有一个解，但 $Ax=cA\mathbf{x} = \mathbf{c}$ 无解。

构造示例：
令
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix},\quad \mathbf{c} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

验证：

对于 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ：
增广矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
相容，有解（例如 $x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = 0$ ）。
对于 $Ax=cA\mathbf{x} = \mathbf{c}$ ：
增广矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
第三行对应方程 $0 = 1$ ，矛盾，无解。

结论：
矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ， $b=[320]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ ， $c=[321]\mathbf{c} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ 满足条件。

习题 1.4

1.
计算矩阵与向量的乘积 $AxA\mathbf{x}$ ：
$\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 7 \end{bmatrix}$

解答：

矩阵 $A$ 是 $\times 2$ ，向量 $x\mathbf{x}$ 是 $\times 1$ 。
矩阵-向量乘法要求矩阵的列数等于向量的行数。
此处 $A$ 有 2 列， $x\mathbf{x}$ 有 3 行，不匹配。

结论：
矩阵-向量乘积 $AxA\mathbf{x}$ 未定义。

2.
计算矩阵与向量的乘积 $AxA\mathbf{x}$ ：
$\begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix}$

解答：

矩阵 $A$ 是 $\times 1$ ，向量 $x\mathbf{x}$ 是 $\times 1$ 。
矩阵的列数（1）不等于向量的行数（2）。

结论：
矩阵-向量乘积 $AxA\mathbf{x}$ 未定义。

3.
计算矩阵与向量的乘积 $AxA\mathbf{x}$ ：
$\begin{bmatrix} 6 & 5 \\ -4 & -3 \\ 7 & 6 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}$

解答：

矩阵 $A$ 是 $\times 2$ ，向量 $x\mathbf{x}$ 是 $\times 1$ ，乘法有定义。
计算过程：
$A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 6(2) + 5(-3) \\ (-4)(2) + (-3)(-3) \\ 7(2) + 6(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 - 15 \\ -8 + 9 \\ 14 - 18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -4 \end{bmatrix}$

结论：
$A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -4 \end{bmatrix}$

4.
计算矩阵与向量的乘积 $AxA\mathbf{x}$ ：
$\begin{bmatrix} 8 & 3 & -4 \\ 5 & 1 & 2 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

解答：

矩阵 $A$ 是 $\times 3$ ，向量 $x\mathbf{x}$ 是 $\times 1$ ，乘法有定义。
计算过程：
$A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 8(1) + 3(1) + (-4)(1) \\ 5(1) + 1(1) + 2(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 + 3 - 4 \\ 5 + 1 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix}$

结论：
$A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix}$

5.
将矩阵方程写成向量方程：
$\begin{bmatrix} 5 & 1 & -8 & 4 \\ -2 & -7 & 3 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 \\ 16 \end{bmatrix}$

解答：

左边是矩阵与向量的乘积，等价于系数矩阵各列与向量对应分量的线性组合。
向量方程：
$(-1)\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 1 \\ -7 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} -8 \\ 3 \end{bmatrix} + (-2)\begin{bmatrix} 4 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 \\ 16 \end{bmatrix}$

结论：
向量方程为：
$-1\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 1 \\ -7 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} -8 \\ 3 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 4 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 \\ 16 \end{bmatrix}$

6.
将矩阵方程写成向量方程：
$\begin{bmatrix} 7 & -3 \\ 2 & 1 \\ 9 & -6 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -9 \\ 12 \\ -4 \end{bmatrix}$

解答：

向量方程：
$(-2)\begin{bmatrix} 7 \\ 2 \\ 9 \\ -3 \end{bmatrix} + (-5)\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -9 \\ 12 \\ -4 \end{bmatrix}$

结论：
向量方程为：
$-2\begin{bmatrix} 7 \\ 2 \\ 9 \\ -3 \end{bmatrix} -5\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -9 \\ 12 \\ -4 \end{bmatrix}$

7.
将向量方程写成矩阵方程：
$x_1\begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 7 \\ -4 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} -5 \\ 3 \\ -5 \\ 1 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 7 \\ -8 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -8 \\ 0 \\ -7 \end{bmatrix}$

解答：

矩阵 $A$ 的列为给定的三个向量，变量向量 $x=[x1,x2,x3]T\mathbf{x} = [x_1, x_2, x_3]^T$ ，右侧为常数向量。
矩阵方程：
$\begin{bmatrix} 4 & -5 & 7 \\ -1 & 3 & -8 \\ 7 & -5 & 0 \\ -4 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -8 \\ 0 \\ -7 \end{bmatrix}$

结论：
矩阵方程为：
$\begin{bmatrix} 4 & -5 & 7 \\ -1 & 3 & -8 \\ 7 & -5 & 0 \\ -4 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -8 \\ 0 \\ -7 \end{bmatrix}$

8.
将向量方程写成矩阵方程：
$z_1\begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix} + z_2\begin{bmatrix} -4 \\ 5 \end{bmatrix} + z_3\begin{bmatrix} -5 \\ 4 \end{bmatrix} + z_4\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 13 \end{bmatrix}$

解答：

矩阵 $A$ 的列为四个向量，变量向量 $z=[z1,z2,z3,z4]T\mathbf{z} = [z_1, z_2, z_3, z_4]^T$ 。
矩阵方程：
$\begin{bmatrix} 4 & -4 & -5 & 3 \\ -2 & 5 & 4 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ z_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 13 \end{bmatrix}$

结论：
矩阵方程为：
$\begin{bmatrix} 4 & -4 & -5 & 3 \\ -2 & 5 & 4 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ z_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 13 \end{bmatrix}$

9.
将线性方程组写成矩阵方程：
$\begin{cases} 3x_1 + x_2 - 5x_3 = 9 \\ x_2 + 4x_3 = 0 \end{cases}$

解答：

系数矩阵 $A$ 、变量向量 $x\mathbf{x}$ 和常数向量 $b\mathbf{b}$ ：
$\begin{bmatrix} 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 9 \\ 0 \end{bmatrix}$
矩阵方程：
$\begin{bmatrix} 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 0 \end{bmatrix}$

结论：
矩阵方程为：
$\begin{bmatrix} 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 0 \end{bmatrix}$

10.
将线性方程组写成矩阵方程：
$\begin{cases} 8x_1 - x_2 = 4 \\ 5x_1 + 4x_2 = 1 \\ x_1 - 3x_2 = 2 \end{cases}$

解答：

系数矩阵 $A$ 、变量向量 $x\mathbf{x}$ 和常数向量 $b\mathbf{b}$ ：
$\begin{bmatrix} 8 & -1 \\ 5 & 4 \\ 1 & -3 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$
矩阵方程：
$\begin{bmatrix} 8 & -1 \\ 5 & 4 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

结论：
矩阵方程为：
$\begin{bmatrix} 8 & -1 \\ 5 & 4 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

11.
给定 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ -2 & -4 & -3 \end{bmatrix}$ ， $b=[−229]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ 9 \end{bmatrix}$ ，写出对应于矩阵方程 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的增广矩阵并求解。

解答：

增广矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \\ -2 & -4 & -3 & 9 \end{bmatrix}$
行变换过程：
1. $R3←R3+2R1R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 5 \end{bmatrix}$
2. $R3←15R3R_3 \leftarrow \frac{1}{5}R_3$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
3. $R2←R2−5R3R_2 \leftarrow R_2 - 5R_3$ ， $R1←R1−4R3R_1 \leftarrow R_1 - 4R_3$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
4. $R1←R1−2R2R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
解得：
$x_1 = 0$ ， $x_2 = -3$ ， $x_3 = 1$

结论：
解为 $x=[0−31]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。

12.
给定 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -3 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & 3 \end{bmatrix}$ ， $b=[01−1]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ ，求解矩阵方程 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 。

解答：

增广矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
行变换过程：
1. $R2←R2+3R1R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 5 & 1 \\ 0 & 5 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
2. $R3←R3−R2R_3 \leftarrow R_3 - R_2$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{bmatrix}$
3. $R3←−12R3R_3 \leftarrow -\frac{1}{2}R_3$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
4. $R2←15R2R_2 \leftarrow \frac{1}{5}R_2$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
5. $R2←R2−R3R_2 \leftarrow R_2 - R_3$ ， $R1←R1−R3R_1 \leftarrow R_1 - R_3$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
6. $R1←R1−2R2R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
解得：
$x_1 = \frac{3}{5},\quad x_2 = -\frac{4}{5},\quad x_3 = 1$

结论：
解为 $x=[35−451]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} \\ -\frac{4}{5} \\ 1 \end{bmatrix}$ 。

13.
设 $u=[044]\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix}$ ， $\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -2 & 6 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ ， $u\mathbf{u}$ 是否在由 $A$ 的列所生成的 $R3\mathbb{R}^3$ 的子集中？为什么？

解答：

$u\mathbf{u}$ 在 $Span{a1,a2}\text{Span}\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2\}$ 中当且仅当方程 $Ax=uA\mathbf{x} = \mathbf{u}$ 有解。
增广矩阵：
$\begin{bmatrix} 3 & -5 & 0 \\ -2 & 6 & 4 \\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}$
行变换过程：
1. $R1↔R3R_1 \leftrightarrow R_3$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ -2 & 6 & 4 \\ 3 & -5 & 0 \end{bmatrix}$
2. $R2←R2+2R1R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1$ ， $R3←R3−3R1R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & -8 & -12 \end{bmatrix}$
3. $R3←R3+R2R_3 \leftarrow R_3 + R_2$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
4. $R2←18R2R_2 \leftarrow \frac{1}{8}R_2$ ， $R1←R1−R2R_1 \leftarrow R_1 - R_2$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
相容性分析：
- 无矛盾行，方程组有解。
- 解为 $x1=52x_1 = \frac{5}{2}$ ， $x2=32x_2 = \frac{3}{2}$ 。
- 验证：
  $\frac{5}{2}\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac{3}{2}\begin{bmatrix} -5 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix}$

结论：
$u\mathbf{u}$ 在由 $A$ 的列所生成的子集中，因为方程组 $Ax=uA\mathbf{x} = \mathbf{u}$ 有解。

14.
设 $u=[2−32]\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix}$ ， $\begin{bmatrix} 5 & 8 & 7 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix}$ ， $u\mathbf{u}$ 是否在由 $A$ 的列所生成的 $R3\mathbb{R}^3$ 的子集中？为什么？

解答：

$u\mathbf{u}$ 在 $Span{a1,a2,a3}\text{Span}\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3\}$ 中当且仅当方程 $Ax=uA\mathbf{x} = \mathbf{u}$ 有解。
增广矩阵：
$\begin{bmatrix} 5 & 8 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & 3 & 0 & 2 \end{bmatrix}$
行变换过程：
1. $R1↔R3R_1 \leftrightarrow R_3$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 5 & 8 & 7 & 2 \end{bmatrix}$
2. $R3←R3−5R1R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & -7 & 7 & -8 \end{bmatrix}$
3. $R3←R3+7R2R_3 \leftarrow R_3 + 7R_2$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -29 \end{bmatrix}$
矛盾分析：
- 第三行对应方程 $0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = -29$ ，即 $0 = - 29$ ，为矛盾方程。
- 该矛盾表明方程组无解。

结论：
$u\mathbf{u}$ 不在由 $A$ 的列所生成的子集中，因为方程组 $Ax=uA\mathbf{x} = \mathbf{u}$ 无解。

15.
设 $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -6 & 3 \end{bmatrix}$ ， $b=[b1b2]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$ ，证明方程 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 对一切 $b\mathbf{b}$ 都相容，并说明使 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 相容的所有向量 $b\mathbf{b}$ 的集合。

解答：

增广矩阵：
$\begin{bmatrix} 2 & -1 & b_1 \\ -6 & 3 & b_2 \end{bmatrix}$
行变换过程：
1. $R2←R2+3R1R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1$ ：
  $\begin{bmatrix} 2 & -1 & b_1 \\ 0 & 0 & b_2 + 3b_1 \end{bmatrix}$
方程组相容当且仅当 $b_2 + 3b_1 = 0$ ，即 $b_2 = -3b_1$ 。

结论：
方程 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 并非对一切 $b\mathbf{b}$ 都相容。
相容的 $b\mathbf{b}$ 的集合是所有满足 $b_2 = -3b_1$ 的向量，即一条通过原点的直线。

16.
设 $\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -3 & 2 & 6 \\ 5 & -1 & -8 \end{bmatrix}$ ， $b=[b1b2b3]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$ ，重复 15 题。

解答：

增广矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 & b_1 \\ -3 & 2 & 6 & b_2 \\ 5 & -1 & -8 & b_3 \end{bmatrix}$
行变换过程：
1. $R2←R2+3R1R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1$ ， $R3←R3−5R1R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 & b_1 \\ 0 & -7 & -6 & b_2 + 3b_1 \\ 0 & 14 & 12 & b_3 - 5b_1 \end{bmatrix}$
2. $R3←R3+2R2R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 & b_1 \\ 0 & -7 & -6 & b_2 + 3b_1 \\ 0 & 0 & 0 & b_3 - 5b_1 + 2(b_2 + 3b_1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 & b_1 \\ 0 & -7 & -6 & b_2 + 3b_1 \\ 0 & 0 & 0 & b_1 + 2b_2 + b_3 \end{bmatrix}$
方程组相容当且仅当 $b_1 + 2b_2 + b_3 = 0$ 。

结论：
方程 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 相容当且仅当 $b_1 + 2b_2 + b_3 = 0$ 。
相容的 $b\mathbf{b}$ 的集合是一个通过原点的平面。

17.
$A$ 中有多少行包含主元位置？方程 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 是否对 $R4\mathbb{R}^4$ 中的每个 $b\mathbf{b}$ 都有解？

解答：

给定矩阵 $A$ 为 $\times 4$ 矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 2 & -8 \\ 2 & 0 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
行变换过程：
1. $R2←R2+R1R_2 \leftarrow R_2 + R_1$ ， $R4←R4−2R1R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -4 & 2 & -8 \\ 0 & -6 & 3 & -7 \end{bmatrix}$
2. $R3←R3+2R2R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2$ ， $R4←R4+3R2R_4 \leftarrow R_4 + 3R_2$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$
3. 交换 $R_3$ 和 $R_4$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
主元位置分析：
- 第 1 行：第 1 列
- 第 2 行：第 2 列
- 第 3 行：第 4 列
- 总共有 3 个主元位置。

结论：

$A$ 有 3 行包含主元位置。
由于 $A$ 是 $\times 4$ 矩阵但只有 3 个主元，根据定理 4，方程 $Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 不是对 $R4\mathbb{R}^4$ 中的每个 $b\mathbf{b}$ 都有解。只有当 $b\mathbf{b}$ 属于 $A$ 的列空间时方程才有解。

18.
$B$ 的列是否可以生成 $R4\mathbb{R}^4$ ？方程 $Bx=yB\mathbf{x} = \mathbf{y}$ 是否对 $R4\mathbb{R}^4$ 中的每个 $y\mathbf{y}$ 都有解？

解答：

给定矩阵 $B$ 为 $\times 4$ 矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -3 & 7 \\ -2 & -8 & 2 & -1 \end{bmatrix}$
行变换过程：
1. $R3←R3−R1R_3 \leftarrow R_3 - R_1$ ， $R4←R4+2R1R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & -1 & -1 & 5 \\ 0 & -2 & -2 & 3 \end{bmatrix}$
2. $R3←R3+R2R_3 \leftarrow R_3 + R_2$ ， $R4←R4+2R2R_4 \leftarrow R_4 + 2R_2$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -7 \end{bmatrix}$
3. $R4↔R3R_4 \leftrightarrow R_3$ ：
  $\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
主元位置分析：
- 第 1 行：第 1 列
- 第 2 行：第 2 列
- 第 3 行：第 4 列
- 总共有 3 个主元位置。

结论：

$B$ 只有 3 行包含主元位置。
由于 $B$ 是 $\times 4$ 矩阵但秩为 3，根据定理 4， $B$ 的列不能生成 $R4\mathbb{R}^4$ 。
方程 $Bx=yB\mathbf{x} = \mathbf{y}$ 不是对 $R4\mathbb{R}^4$ 中的每个 $y\mathbf{y}$ 都有解。

19.
$R4\mathbb{R}^4$ 中的每个向量都可以写成矩阵 $A$ 的列的线性组合吗？ $A$ 的列是否可以生成 $R4\mathbb{R}^4$ ？

解答：

由第 17 题可知，矩阵 $A$ 为 $\times 4$ 矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 2 & -8 \\ 2 & 0 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
通过行变换已证明 $A$ 有 3 个主元位置，秩为 3。
根据定理 4， $\times n$ 矩阵 $A$ 的列生成 $Rm\mathbb{R}^m$ 当且仅当 $A$ 有 $m$ 个主元位置。
此处 $m = 4$ ，但 $A$ 只有 3 个主元位置。

结论：

$R4\mathbb{R}^4$ 中并非每个向量都可以写成 $A$ 的列的线性组合。
$A$ 的列不能生成 $R4\mathbb{R}^4$ ，因为 $A$ 的列空间是 $R4\mathbb{R}^4$ 的一个 3 维子空间。
具体地， $A$ 的列向量线性相关（第 3 列可由第 1、2、4 列线性表示），无法张成整个 $R4\mathbb{R}^4$ 。

20.
$R4\mathbb{R}^4$ 中的每个向量都可以写成矩阵 $B$ 的列的线性组合吗？ $B$ 的列是否可以生成 $R3\mathbb{R}^3$ ？

解答：

由第 18 题可知， $B$ 是 $\times 4$ 矩阵且秩为 3。
第一部分： $R4\mathbb{R}^4$ 中的每个向量是否都可以写成 $B$ 的列的线性组合？
- 根据定理 4， $B$ 的列生成 $R4\mathbb{R}^4$ 当且仅当 $B$ 有 4 个主元。
- 但 $B$ 只有 3 个主元，因此 $B$ 的列不能生成 $R4\mathbb{R}^4$ 。
第二部分： $B$ 的列是否可以生成 $R3\mathbb{R}^3$ ？
- 这是一个常见误解。 $B$ 的列向量属于 $R4\mathbb{R}^4$ ，而 $R3\mathbb{R}^3$ 是一个不同的向量空间。
- $B$ 的列可以生成 $R4\mathbb{R}^4$ 的一个 3 维子空间，但不能生成 $R3\mathbb{R}^3$ ，因为 $R4\mathbb{R}^4$ 与 $R3\mathbb{R}^3$ 是不同的空间。