NOIP2016——组合数问题

最新推荐文章于 2022-01-29 16:55:57 发布

stargazer.

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_42555009/article/details/83175813

本文探讨了如何计算特定条件下组合数为某数倍数的对数，通过预处理组合数并采用高效算法实现O(n)查询，适用于解决数学与算法竞赛中的相关问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

组合数表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从（1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有（1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

其中n! = 1 × 2 × · · · × n
小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0 <= i <= n，0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足是k的倍数。
输入
第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见 【问题描述】。
接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。
输出
t行，每行一个整数代表答案。
样例输入
1 2
3 3
输入样例#2：
2 5
4 5
6 7
样例输出
1
输出样例#2：
0
7
提示
【样例1说明】
在所有可能的情况中C（1,2），只有是2的倍数。
【子任务】

开始还以为是道数学题，推了半天式子看了一下数据范围。woc

直接预处理出2000以内的组合数

但是需要先读入k再处理，在处理的过程中取模

然后再处理一下每一行或者每一列前几个的个数

这样可以做到O(n)查询

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll c[2005][2005],f[2005][2005];
int m,n,k,t;
inline int read(){
    char ch=getchar();
    int res=0;
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return res;
}
inline void init(){
    for(int i=0;i<=2003;i++)c[i][1]=i,c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=2003;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
            c[i][j]%=k;
        }
    }
    for(int i=1;i<=2003;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            f[i][j]=f[i][j-1]+(c[i][j]%k==0);
        }
    }
}
int main(){
    t=read(),k=read();
    init();    
    while(t--){
        n=read(),m=read();
        m=min(m,n);
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int h=min(m,i);
            ans+=f[i][h];
        }
        cout<<ans<<'\n';
    }
}