P3414 SAC#1 - 组合数 & P2822 [NOIP2016 提高组] 组合数问题-优快云博客

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博客深入探讨组合数和排列数的概念，结合P3414 SAC#1及P2822 NOIP2016提高组的题目，阐述了组合数在解决实际问题中的应用。通过杨辉三角进行预处理，并讨论了在数据超过int范围时的处理策略。

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神奇的目录

- $e^{i\pi}$ 、组合基础
$\int_{-1}^{1}3x^2\,dx$ 、P3414 SAC#1 - 组合数
$\begin{vmatrix}(10)_2&{(\dfrac{1}{2x^2}+\dfrac{x^2}{2})_{min}}\\5&16^{\dfrac{1}{2}}\end{vmatrix}$ 、P2822 [NOIP2016 提高组] 组合数问题

- $e^{i\pi}$ 、组合基础

阶乘

$n\in{\mathbb{N^*}}$ , $n!=1*2*…*n={\prod\limits_{i=1}^na_i}$
我们规定, $0! = 1$ 。

排列数

假设共 $N$ 个人，选 $M$ 个人买奶茶。显然，肯定有人想先买（晚了就没了），所以我们需要将他们排好队，对吧。那么，可能的种类大概是这样：

N	N-1	N-2	……	N-M+1
N	N-1	N-2	……	N-M+1
哦~
那么显而易见，我们就可以得出如下等式：
$A_N^M=$ ${\dfrac{N!}{(N-M)!}}$
特别的，有一种叫全排列：
$A_N^N=$ ${\dfrac{N!}{0!}}$ $= N!$
也可以表示N个人全部选中，有 $A_N^N$ 种排序方法

组合数

这时候，我们不让这N个人中的M个喝奶茶，于是，他们都不愿意，而我们也不在乎不喝的人的顺序。
由上面的排列数可知，选这M个人（有序）有 $A_N^M$ 种选法，但因为不在乎顺序所以可以除以 $A_M^M$ 由此可知：
$C_N^M={\dfrac{A_N^M}{A_M^M}}={\dfrac{N!}{M!·(N-M)!}}$