MIT_单变量微积分_21

最新推荐文章于 2019-06-08 12:32:29 发布

张今天

最新推荐文章于 2019-06-08 12:32:29 发布

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分类专栏： ——单变量微积分

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博客主要围绕功、平均值和概率展开。介绍了平均值的计算，如函数平均值、点在单位半圆上平均高度等，还通过股票、坩埚例子进一步说明。在概率部分，给出求概率的通用公式，通过单位半圆、靶子等问题展示概率计算，包括小人被射中概率等。

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1.功、平均值、概率

Ex:平均值：
$y1+y2+...+ynn→1b−a∫zbf(x)dx\frac{y_1+y_2+...+y_n}{n} \to \frac{1}{b-a}\int_z^bf(x)dx$

在这里插入图片描述

$a=x0<x1<x2<...<xn=by1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3)黎曼和:(y1+....+yn)Δxb−a→∫abf(x)dxb−a(Δx→∞)Δxb−a=1na=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b\\ y_1=f(x_1),y_2=f(x_2),y_3=f(x_3)\\ 黎曼和:\\ \frac{(y_1+....+y_n)\Delta x}{b-a} \to \frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a} (\Delta x \to \infty)\\ \frac{\Delta x}{b-a}=\frac{1}{n}$
Ex: $f (x) = C$ 求平均值。
$1b−a∫abCdx=C\frac{1}{b-a}\int_a^bCdx=C$

Ex:点在单位半圆上的平均高度
在这里插入图片描述
$11−(−1)∗∫−111−x2dx=12∗n2=π4\frac{1}{1-(-1)}*\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx=\frac{1}{2}*\frac{n}{2}=\frac{\pi}{4}$
Ex:上图弧长的平均值 $\leq \theta \leq \pi)$
$1π∫0θsinθdθ=−1π∗cosθ∣0π=−1π(−2)=2π\frac{1}{\pi}\int_0^{\theta}sin \theta d \theta =-\frac{1}{\pi}*cos \theta |_0^{\pi}=\frac{-1}{\pi}(-2)=\frac{2}{\pi}$

加权平均值：
$∫abf(x)w(x)dx∫abw(x)dx\frac{\int_a^bf(x)w(x)dx}{\int_a^bw(x)dx}$

解释1： $A V C (C) = C$
$∫abCw(x)dx∫abw(x)dx=C∫abw(x)dx∫abw(x)dx=C\frac{\int_a^bCw(x)dx}{\int_a^bw(x)dx}=\frac{C\int_a^bw(x)dx}{\int_a^bw(x)dx}=C$
解释2：股票例子
$10w1+20w2+30w3w1+w2+w3\frac{10w_1+20w_2+30w_3}{w_1+w_2+w_3}$
Ex:坩埚例子：

初始： $T = 0$
最终： $T = 100 - 30 y$
能量= 体积 * 温度
$∫01Tπx2dy=∫01(100−30y)πydy=∫01100πy−30πy2dy=50πy2−10πy3∣01=40π\int_0^1T\pi x^2dy\\ =\int_0^1(100-30y)\pi ydy\\ =\int_0^1100\pi y-30\pi y^2dy\\ =50\pi y^2-10\pi y^3|_0^1\\ =40\pi$

最后的平均温度：
$∫01Tπydy∫01πydy=40ππ2=800\frac{\int_0^1T\pi y dy}{\int_0^1\pi y dy}=\frac{40 \pi}{\frac{\pi}{2}}=80^0$
平常的平均温度：
$Tmax+Tmin2=100+702=850\frac{T_{max}+T_{min}}{2}=\frac{100+70}{2}=85^0$

2. 概率

Ex: $0<y<1-x^2$ ,使得 $y>12的概率y>\frac{1}{2}的概率$
$∫121(1−x2)dx∫−11(1−x2)dx=P(x>12)\frac{\int_\frac{1}{2}^1(1-x^2)dx}{\int_{-1}^{1}(1-x^2)dx}=P(x>\frac{1}{2})$
求概率的通常的公式：
$\leq x_1 \leq x_2 \leq b,P(x_1<x<x_2)=\frac{\int_{x_1}^{x_2}w(x)dx}{\int_a^bw(x)dx}=\frac{Part}{Total}$
Ex:靶子问题： $f=Ce^{-r^2}$ (模型)

在这里插入图片描述

$PART=∫r1r22πre−r2dr=−πe−r2∣r1r2=π(e−r12−e−r22)PART=Cπ(e−r12−e−r22)Whole=Cπ(e02−e−∞2)=CπPARTWHOLE=er12−er22PART=\int_{r_1}^{r_2}2\pi re^{-r^2}dr\\ =-\pi e^{-r^2}|_{r_1}^{r_2}\\ =\pi(e^{-r_1^2}-e^{-r_2^2})\\ PART=C\pi(e^{-r_1^2}-e^{-r_2^2})\\ Whole=C\pi(e^{0^2}-e^{-\infty^2})\\ =C\pi\\ \frac{PART}{WHOLE}=e^{r_1^2}-e^{r_2^2}$
Ex:假设在靶子旁边站着一个人。求小人被射中的概率。 $212∗P(2a<r<3a)=?\frac{2}{12}*P(2a<r<3a)=?$
在这里插入图片描述
$P(0<r<a)=12e−02−e−a2=12e−a2=12P(2a<r<3a)=e−(2a)2−e−(3a)2=e(−a2)4−e(−a2)9=(12)4−129≈116P(0<r<a)=\frac{1}{2}\\ e^{-0^2}-e^{-a^2}=\frac{1}{2}\\ e^{-a^2}=\frac{1}{2}\\ P(2a<r<3a)=e^{-(2a)^2}-e^{-(3a)^2}\\ =e^{(-a^2)^4}-e^{(-a^2)^9}\\ =(\frac{1}{2})^4-\frac{1}{2}^9\\ \approx \frac{1}{16}$