MIT_单变量微积分_03

第3课：

• 导数的加法法则：$(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$
• 导数的数乘法则：$(cu{)}^{\prime }=c{u}^{\prime }$
• 可去间断点：$$A:g(x)=\frac{sin(x)}{(x)},\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sin(x)}{x}=1$$
  $$B:h(x)=\frac{1-cos(x)}{x},\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-cos(x)}{x}=0$$
• $sin(x{)}^{\prime }=cos(x)$和$(cosx{)}^{\prime }=-sin(x)$的证明：$$\begin{gathered} \frac{sin(x+\Delta x)-sin(x)}{\Delta x}=\frac{sinxcos\Delta x+cosxsin\Delta x-sinx}{\Delta x} \\ =sinx(\frac{cos\Delta x-1}{\Delta x})+cosx(\frac{sin\Delta x}{\Delta x}) \\ =cosx \\ -------------------------------------- \\ \frac{cos(x+\Delta x)-cosx}{\Delta x}=\frac{cosxcos\Delta x-sinxsin\Delta x-cosx}{\Delta x} \\ =cosx(\frac{cos\Delta x-1}{\Delta x})-sinx(\frac{sin\Delta x}{\Delta x}) \\ =-sinx \end{gathered}$$

1. 使用极限几何证明A、B。

（1）证明 A，如图所示的单位圆:

$$\Delta x\to \Theta ,\frac{弓弦}{弧长}=\frac{2sin\Theta }{2\Theta }\to 1$$

注解：极短的曲线可以看作直线。弧长公式：$弧长=\frac{n\ast \pi \ast r}{180^0}$，所以角度$\theta$对应的弧长为 $\theta$。

（2）证明B，如图所示的单位圆:

$\frac{1-cos\Theta }{\Theta }\to 0,$前提：这个圆还是单位圆。当红色部分,即 $1-cos\Theta$ 很小时，即$\Theta$ 很小的时候，等式便为0。

（3） 证明：$\frac{dsin\theta }{\Delta \Theta }=cos\Theta$

其$sin\theta$的变化可以看作是$P、Q$两点的纵坐标的变化，即看作是$\Delta y$。
将$OT$和$OP$同时旋转$90^0$,相当于，$OT$变成了$PR$,$OP$变成了$PQ$，则$\angle QPR=\theta$。
$OR\perp PQ,QR\perp OP,\Delta y=PR,\widehat{PQ}(弧长)=\overline{PQ}(直线)\approx \Delta \Theta ,\frac{\Delta y}{\Delta \Theta }=cos\Theta$

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2. 补充

• 导数的除法法则：$(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })}{v^2}(v̸=0)$
• 导数的乘法法则：$(uv{)}^{\prime }=(u^{\prime }v+u{v}^{\prime })$

$Pf:$
$$\begin{gathered} \Delta (uv)=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x) \\ =(u(x+\Delta x)-u(x))v(x+\Delta x)+u(x)(v(x+\Delta x)-v(x)) \\ =\Delta uv(x+\Delta x)+u(x)\Delta v \\ \frac{\Delta (uv)}{\Delta x}=\frac{\Delta u}{\Delta x}v(x+\Delta x)+\frac{u\Delta v}{\Delta x} \\ 由于\Delta x\to 0所以， \\ \frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot v+u\frac{dv}{dx} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \Delta (\frac{u}{x})=\frac{u+\Delta x}{v+\Delta v}-\frac{u}{v} \\ =\frac{uv+(\Delta u)v-uv-u\Delta v}{(v+\Delta v)v} \\ =\frac{(\Delta u)v-u\Delta v}{(v+\Delta v)v} \\ \frac{\Delta (\frac{u}{x})}{\Delta x}=\frac{\frac{\Delta u}{\Delta x}v-u\frac{\Delta v}{\Delta x}}{(v+\Delta v)v} \\ 由于\Delta x\to 0,所以 \\ \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{\frac{du}{dx}\cdot v-u\frac{dv}{dx}}{v\cdot v} \end{gathered}$$