MIT_单变量微积分_05

1. 隐函数微分法和逆函数求导

Ex:$y=x^{\frac{m}{n}}.求y的导数。$
等式两边同时乘以$n$，可得：
$$\begin{gathered} y^n=x^m \\ \frac{d}{dx}{y}^n=\frac{d}{dx}{x}^m \\ n{y}^{n-1}\frac{d}{dx}=m{x}^{m-1} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{m{x}^{m-1}}{n{y}^{n-1}} \\ =\frac{m}{n}\cdot \frac{x^{m-1}}{y^{n-1}} \\ =\frac{m}{n}\cdot x^{m-1-\frac{m}{n}(n-1)} \\ =a{x}^{a-1} \end{gathered}$$
Ex: $x^2+y^2=1，求y的导数。$.

• 正常求导：
  由上式可知： $y^2=1-x^2;y=+\sqrt{1-x^2}=(1-x^2{)}^{\frac{1}{2}}，这里只考虑了y为正的情况。$
  得：$y^{\prime }=\frac{1}{2}(1-x^2)(-2x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

• 隐式求导：$$\begin{gathered} \frac{d}{dx}(x^2+y^2)=\frac{d}{dx}1 \\ 2x+2y{y}^{\prime }=0 \\ {y}^{\prime }=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y} \end{gathered}$$

Ex:$y^4+x{y}^2-2=0,求y的导数。$

• 正常求导：
  由求根公式可知： $y^2=\frac{-x\pm \sqrt{x^2-4\cdot (-2)}}{2},y=\pm \sqrt{\frac{-x\pm \sqrt{x^2-4\cdot (-2)}}{2}}$
  从上式子可以看出，y是一个非常复杂的式子，求导是非常困难的。

• 隐式求导：
  $$\begin{gathered} 4y^3{y}^{\prime }+y^2+2xy{y}^{\prime }=0 \\ {y}^{\prime }=-\frac{y^2}{4y^3+2xy} \end{gathered}$$
  当x=1,y=1时，求上式子的斜率,$y^{\prime }=\frac{-1}{4+2}=-\frac{1}{6}$

2. 反函数

Ex: $y=\sqrt{x},(x>=0),y^2=x.$
$f(x)=\sqrt{x},g(y)=x,g(y)=y^2.$

Define：$y=f(x),g(y)=x$
$g(f(x))=x,g=f^{-1},f=g^{-1}$

几何解释：关于函数$y=x$对称。

2.1 隐函数求导任意反函数，只需知道原函数的导数

Ex: $y=ta{n}^{-1}x=arctanx$
反函数表示为;$tany=x$.

由图可知：${\lim }_{x\to \infty }ta{n}^{-1}x=\frac{\pi }{2}$

$\frac{dtany}{dy}=\frac{d}{dy}\frac{siny}{cosy}$

由除数法则，可得，$\frac{dtany}{dy}=\frac{1}{co{s}^{2}y}$.
$$\begin{gathered} \frac{d}{dx}(tany=x) \\ (\frac{d}{dx}tany)\frac{dy}{dx}=1 \\ \frac{1}{co{s}^{2}y}{y}^{\prime }=1 \\ {y}^{\prime }=co{s}^{2}y \\ \frac{d}{dx}ta{n}^{-1}x=co{s}^2(ta{n}^{-1}x)\frac{1}{1+x^2} \end{gathered}$$

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由上图可知：$cosy=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},co{s}^{2}y=\frac{1}{1+x^2}$

所以：$\frac{d}{dx}ta{n}^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}$

Ex: $求y=si{n}^{-1}x的导数。$
原式可转化为$siny=x$.
等式两边同时进行微分处理可得：
$$\begin{gathered} cosy{y}^{\prime }=1 \\ {y}^{\prime }=\frac{1}{cosy} \\ {y}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-si{n}^{2}y}} \\ {y}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{gathered}$$