本文探讨了如何使用函数的一阶导数f′f'f′和二阶导数f′′f''f′′来描绘复杂函数图形的方法，包括确定函数的增减区间、凹凸性和拐点，以及通过实例分析函数在不同区间的性质。
1. 曲线构图
目的 ：利用f′,f′′f',f''f′,f′′的正负值绘制复杂的函数图形。
规则如下:
- f′>0⇒f递增.f' > 0 \Rightarrow f递增.f′>0⇒f递增.
- f′<0⇒f递减.f'<0 \Rightarrow f递减.f′<0⇒f递减.
- f′′>0⇒f′递增.f'' >0 \Rightarrow f'递增.f′′>0⇒f′递增.(凸函数)
- f′′<0⇒f′递减.f'' <0 \Rightarrow f'递减.f′′<0⇒f′递减.（凹函数）
Ex:
f(x)=3x−x3f(x) = 3x-x^3f(x)=3x−x3.
f′(x)=3−3x2=3(1+x)(1−x)f'(x)=3-3x^2=3(1+x)(1-x)f′(x)=3−3x2=3(1+x)(1−x)
由上式子可以得出以下结论：
- −1<x<1⇒f′(x)>0⇒f递增-1<x<1 \Rightarrow f'(x) >0 \Rightarrow f 递增−1<x<1⇒f′(x)>0⇒f递增
- x>1⇒f′(x)<0⇒f递减x >1 \Rightarrow f'(x) <0 \Rightarrow f 递减x>1⇒f′(x)<0⇒f递减
- x<−1⇒f′(x)<0⇒f递减x < -1 \Rightarrow f'(x) <0 \Rightarrow f 递减x<−1⇒f′(x)<0⇒f递减
简图如下所示：
驻点：f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0的点x0x_0x0为驻点，其f′(x0)f'(x_0)f′(x0)为驻点值。
根据上式可知：x=±1，f(1)=2,f(−1)=−2x= \pm 1，f(1) = 2, f(-1)= -2x=±1，f(1)=2,f(−1)=−2.
拐点：f′′(0)=0f''(0) = 0f′′(0)=0时的x值。
由f′′(x)=−6x.可知：由f''(x) = -6x.可知：由f′′(x)=−6x.可知：
当x<0x < 0x<0时，f′′>0⇒f′递增.f'' >0 \Rightarrow f'递增.f′′>0⇒f′递增.(凸函数)
当x>0x >0x>0时，f′′<0⇒f′递减.f'' <0 \Rightarrow f'递减.f′′<0⇒f′递减.（凹函数）
当x>+∞x >+\inftyx>+∞时，f(x)=3x−x3⇒−∞,(3x可以忽略低阶)f(x) = 3x-x^3 \Rightarrow -\infty,(3x可以忽略低阶)f(x)=3x−x3⇒−∞,(3x可以忽略低阶)
当x>−∞x >-\inftyx>−∞时，f(x)⇒+∞f(x) \Rightarrow + \inftyf(x)⇒+∞
Ex 绘制f(x)=x+1x+2f(x) = \frac{x+ 1}{x+ 2}f(x)=x+2x+1的图形。
因f′(x)=1(x+2)2≠0f'(x) = \frac{1}{(x+2)^2} \neq 0f′(x)=(x+2)21̸=0, 所以无驻点。
f((−2)+)=−2+1(−2)++2=−10+=−∞f((-2)^+)=\frac{-2+1}{(-2)^++2}=\frac{-1}{0^+}=- \inftyf((−2)+)=(−2)++2−2+1=0+−1=−∞
f((−2)−)=−2+1（−2)−+2=−10−=+∞f((-2)^-)=\frac{-2+1}{（-2)^-+2}=\frac{-1}{0^-}=+\inftyf((−2)−)=（−2)−+2−2+1=0−−1=+∞
分别考虑两个最远端:
x→±∞,f(x)=x+1x+2=1+1x1+2x→1x\rightarrow \pm \infty,f(x) = \frac{x+ 1}{x+2}=\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}} \rightarrow 1x→±∞,f(x)=x+2x+1=1+x21+x1→1
导数：x+1x+2=x+2−1x+2=1−1x+2=0\frac{x+1}{x+2}=\frac{x+2-1}{x+2}=1-\frac{1}{x+2}= 0x+2x+1=x+2x+2−1=1−x+21=0.
f′(x)=1(x+2)2>0,(x≠−2)f'(x)=\frac{1}{(x+2)^2} >0,(x\neq -2)f′(x)=(x+2)21>0,(x̸=−2),原函数递增。
f′′(x)=−2(x+2)3,(x≠−2)f''(x)=\frac{-2}{(x+2)^3},(x\neq -2)f′′(x)=(x+2)3−2,(x̸=−2)
f′′(x)<0,(−2<x<+∞),凹函数f''(x)<0,(-2<x<+\infty),凹函数f′′(x)<0,(−2<x<+∞),凹函数
f′′(x)>0,(−∞<x<−2),凸函数f''(x)>0,(-\infty<x<-2),凸函数f′′(x)>0,(−∞<x<−2),凸函数
2. 总结：
- 无驻点，找出±∞,无限远端，容易标出的点。\pm \infty,无限远端，容易标出的点。±∞,无限远端，容易标出的点。
- 有驻点，标出驻点，以及其值。
- 判断f′f'f′在驻点或无限远端的正负性。
- 判断f′′f''f′′，判断凹凸、拐点。
Ex:f(x)=xlnx,x>0f(x) = \frac{x}{lnx},x > 0f(x)=lnxx,x>0
- f(1+)=+∞f(1^+) = +\inftyf(1+)=+∞,f(1−)=−∞f(1^-)=-\inftyf(1−)=−∞
- f(0+)=0+−∞=0，f(∞)=+∞f(0^+)=\frac{0^+}{-\infty}=0，f(\infty)=+\inftyf(0+)=−∞0+=0，f(∞)=+∞
- f′(x)=lnx−1(lnx)2(x≠1,x>0)f'(x)=\frac{lnx - 1}{(lnx)^2}(x \neq 1,x > 0)f′(x)=(lnx)2lnx−1(x̸=1,x>0)
- f′(x)=0,x=ef'(x)= 0,x= ef′(x)=0,x=e
- f′(x)<0,x<ef'(x)<0,x <ef′(x)<0,x<e
- f′(x)>0,x>ef'(x)>0,x > ef′(x)>0,x>e
- f′′(x)=−(lnx)−21x+2(lnx)−11x=2−lnxx(lnx)3f''(x)=-(lnx)^{-2}\frac{1}{x}+2(lnx)^{-1}\frac{1}{x}=\frac{2-lnx}{x(lnx)^3}f′′(x)=−(lnx)−2x1+2(lnx)−1x1=x(lnx)32−lnx
- f′′(x)<0,0<x<1，凹函数f''(x) <0, 0< x< 1，凹函数f′′(x)<0,0<x<1，凹函数
- f′′(x)>0,1<x<e2,凸函数f''(x)>0, 1 < x < e^2,凸函数f′′(x)>0,1<x<e2,凸函数
- f′′(x)<0,e2<x<+∞,凹函数f''(x) < 0, e^2 <x< +\infty,凹函数f′′(x)<0,e2<x<+∞,凹函数
如图所示：
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