MIT_单变量微积分_15

最新推荐文章于 2022-12-03 23:00:13 发布

张今天

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分类专栏： ——单变量微积分

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本文介绍了微分方程的解法，重点讲解了分离变量法的应用。通过具体例子展示了如何利用该方法求解dxdy=f(x)和(dxd+x)y=0等方程，得出y关于x的表达式。还探讨了当x=0时的特殊情况，并讨论了与抛物线垂直的曲线问题。

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1.微分方程和分离变量

Ex1: $dydx=f(x),求y=??\frac{dy}{dx} =f(x),求y=??$
$y=∫f(x)dxy=\int f(x)dx$

Ex2: $(ddx+x)y=0.(\frac{d}{dx} +x)y=0.$ ，求y?

$(ddx+x)y=0.dydx=−xydyy=−xdx∫dyy=−∫xdxlny=−x22+C(y>0)elny=e−x22+Cy=Ae−x22(A=ec)y=ae−x22(a取任意数)dydx=a(−x)e−x22=−xy(\frac{d}{dx} +x)y=0.\\ \frac{dy}{dx}=-xy\\ \frac{dy}{y}=-xdx\\ \int \frac{dy}{y}=-\int xdx\\ lny=-\frac{x^2}{2}+C(y>0)\\ e^{lny}=e^{-\frac{x^2}{2} +C}\\ y=Ae^{-\frac{x^2}{2}}(A=e^c)\\ y=ae^{-\frac{x^2}{2}}(a取任意数)\\ \frac{dy}{dx}=a(-x)e^{-\frac{x^2}{2}}=-xy$

分离变量法：
$dydx=f(x)g(y)dyg(y)=f(x)dxH(y)=dyg(y),F(x)=∫f(x)dxH(y)=F(x)+Cy=H−1(F(x)+C)\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\\ \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\\ H(y)=\frac{dy}{g(y)},F(x)=\int f(x)dx\\ H(y)=F(x)+C\\ y=H^{-1}(F(x)+C)$

注解：
(1) $ln∣y∣=−x22+C(y≠0)∣y∣=e−x22+C=Ae−x22y=±Ae−x22=ae−x22(a=±A)ln|y|=-\frac{x^2}{2} +C(y \neq 0)\\ |y|=e^{-\frac{x^2}{2}+C}=Ae^{-\frac{x^2}{2}}\\ y=\pm Ae^{-\frac{x^2}{2}}=ae^{-\frac{x^2}{2}}(a = \pm A)$
(2) $lny+C1=−x22+C2lny=−x22+(C2+C1)可以看作一个常数Clny+C_1=-\frac{x^2}{2}+C_2\\ lny=-\frac{x^2}{2}+(C_2+C_1) 可以看作一个常数C$

Ex3:如图所示，切线是射线斜率的两倍。
在这里插入图片描述
$dydx=2yxdyy=21xdx(分离变量法)lny=2lnx+Celny=e2lnx+Cy=Ax2（函数图形如下所示）【(elnx)2=x2】\frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x}\\ \frac{dy}{y}=2\frac{1}{x}dx(分离变量法)\\ lny=2lnx+C\\ e^{lny}=e^{2lnx+C}\\ y=Ax^2（函数图形如下所示）\\ 【(e^{lnx})^2=x^2 】$
在这里插入图片描述
Wanging：x=0时会出现问题。
Ex4找出与原点出发的抛物线（就是上面的图像）实时垂直的曲线。