34、自由幺半群态射的复杂度分析

自由幺半群态射的复杂度分析

1 引言

自由幺半群态射 $h : Σ^∗→∆^∗$（其中 $Σ$ 和 $∆$ 为有限字母表）在形式语言理论中是一个重要概念，且与复杂度理论相关。这里主要探讨评估逆态射和态射 $h$ 的复杂度，具体涉及三个问题：
- eval ：计算单词 $v$ 在 $h$ 下的像。
- range ：判断单词 $w$ 是否属于 $h(Σ^∗)$。
- inv ：给定 $w ∈h(Σ^∗)$，计算 $h^{-1}(w)$ 中的一个元素。

同时，会分别研究固定设置（态射与输入无关）和可变设置（态射作为输入的一部分）下这些问题的复杂度。

1.1 复杂度结果框架

问题	固定设置	可变设置
评估（evaluation）	等距：$NC^0$；非等距：$TC^0$-完全	等距：$AC^0$；非等距：$TC^0$-完全
范围（range）	任意 $h$：$NC^1$；特定 $h$：$NC^1$-完全	$h(Σ)$ 为前缀码：$L$-完全；无限制 $h$：$NL$-完全
求逆（inversi