2、方程求解：从理论到实践

方程求解：从理论到实践

在方程求解的领域中，一直以来都在不断探索更高效、更通用的方法。早期，Plandowski的方法为解决单词方程提供了重要思路，它不仅更具对称性，还能用于生成给定单词方程的所有解，但这需要对原方法进行非平凡的扩展。Gutiérrez利用Plandowski的方法证明了自由群中方程的可满足性问题属于PSPACE复杂度类，随后Diekert、Hagenah和Gutiérrez进一步得出自由群中带有有理约束的方程的存在性理论是PSPACE完全的，这些成果至今仍是该领域最好的复杂度结果。

然而，Plandowski尝试将其方法推广到带有有理约束的自由群时遇到了问题。直到2013年，Jeż的强大重新压缩技术为单词方程的求解带来了重大进展。他证明了单词方程问题属于PSPACE，极大地简化了现有证明，还能更轻松地描述所有解的集合，也简化了Plandowski之前的构造。但仍存在两个未解决的问题，即如何将方法扩展到包含带有对合的自由幺半群（进而扩展到自由群）以及处理有理约束，本文将解决这两个问题。

1. 预备知识

• 单词方程 ：设A和Ω是两个有限不相交集合，分别称为常量字母表和变量字母表。A和Ω都带有对合，即对于所有元素x，有x = x，对合是一种双射。如果M是一个幺半群，则对于所有x, y ∈ M，还要求xy = yx。对于自由幺半群Σ∗，一个单词w = a1 · · · am的对合w = am · · · a1。单词方程是A ∪ Ω上的一对单词(U, V)，通常表示为U = V。方程U = V的解σ是将Ω中的未知数用常量上的单词进行替换，使得U和V中未知数被替换后的单词相同，并且对于所有X ∈ Ω，满足σ(X) = σ(X)。