3、自动机最小化的若干注记

自动机最小化的若干注记

1. 引言

确定有限自动机（DFA）的最小化问题与状态的不可区分性概念密切相关。常见的DFA最小化技术，如Moore算法和Hopcroft算法，在处理可达自动机（即所有状态都可从初始状态到达的自动机）时，往往不考虑初始状态。那么，对于可达自动机，其最小性究竟取决于什么呢？显然，它既依赖于自动机的转移函数，也依赖于最终状态集。本文主要探讨最小性在多大程度上依赖于最终状态的特定子集。

为了研究自动机最小性对最终状态选择的依赖关系，我们采用图论方法。对于任意DFA A，引入状态对图G(A)，其顶点集为Q的所有二元子集。我们发现，对于任意最终状态集F，A的最小性等价于F能分离G(A)的所有闭分量。这里，若存在{p, q} ∈ S，使得p ∈ F且q ∉ F，则称集合F分离集合S ⊆ [Q]²。这样，为了检查A相对于不同最终状态集是否最小，只需计算一次G(A)的闭分量，然后对每个F ⊂ Q，测试F是否能分离这些闭分量。

本文主要考虑强连通的完全自动机A = (Q, Σ, δ)，并选择Q的真子集作为最终状态集，以排除平凡情况。通过分析一些极端情况，我们展示了该方法的有效性。

2. 基本定义和符号

2.1 确定有限自动机（DFA）

DFA是一个三元组A = (Q, Σ, δ)，其中：
- Q是有限状态集；
- Σ是有限输入符号字母表；
- δ是从Q × Σ到Q的映射，称为自动机的转移函数。

字母表Σ中的字母对状态Q的作用可以自然地扩展到Σ （Σ上的自由幺半群），扩展后的映射记为δ 。如果转移函数δ是全函数，则称DFA是完全的。若对于