35、自由幺半群态射复杂性与距离遗传图问题的高效求解

自由幺半群态射复杂性与距离遗传图问题的高效求解

1. 自由幺半群态射相关问题

1.1 左部分码分层问题

对于分层集 (C)，若 (\sigma(C)) 的任何前缀都不能以两种方式表示为 (C^ ) 的元素，则称 (C) 为左部分码。而 (lpcstratification) 是左部分码范围问题的特殊情况，即判断 (\sigma(h(\Sigma)) \in h(\Sigma^ ))，也就是所有态射 (h : \Sigma^ \to \Delta^ ) 构成的语言，其中 (h(\Sigma)) 是左部分码且 (h(\Sigma)) 的分层在 (h(\Sigma^*)) 中。

有定理表明，(lpcstratification) 是 (RUSPACE(\log n)) 完全的。其证明思路是，定理 8 和 9 的构造实际上证明了 (lpcstratification) 和 (L_{ru}) 是多对一的对数空间等价。这里 (L_{ru}) 是具有从源到目标路径的图的语言，且要求从源到任何可达节点具有唯一路径属性，这恰好对应于规范表达左部分码分层的操作。

1.2 反演问题

类 ((Functional - L)NL) 可以等价定义为单值 (NL) 转换器计算的函数集。对于反演问题 (inv)，它属于 ((Functional - L)NL)。求解 (inv) 时，使用定理 4 构造的算法和自动机。不先产生 (\hat{w})，而是开始自动机的确定性对数空间模拟。当模拟需要从 (\hat{w}) 读取字母时，借助 (NL) 预言机测试当前输入位置是否将 (w) 拆分为 (h(\Sigma^*)) 中的前