7、广义可满足性问题的算子赋值研究

广义可满足性问题的算子赋值研究

1. 引言与结果概述

在1978年，Schaefer对广义可满足性问题的计算复杂度进行了分类。每一类布尔关系A都会引出广义可满足性问题SAT(A)。SAT(A)的一个实例是A中关系的合取，每个合取项的参数是一组变量，问题在于是否存在对这些变量的布尔值赋值，使得每个合取项得到的布尔值元组都属于相应的底层关系。Schaefer的主要成果是关于SAT(A)计算复杂度的二分定理，即根据A的不同，SAT(A)要么是NP完全问题，要么可以在多项式时间内求解。该定理为许多著名的布尔可满足性变体（如POSITIVE 1 - IN - 3 SAT和MONOTONE 3SAT）的NP完全性提供了统一的解释，并引发了计算复杂度和约束满足领域的大量后续研究。

每个布尔关系都可以通过其特征函数，利用傅里叶变换唯一地表示为一个多线性多项式（即每个变量的次数至多为1的多项式）。在这个转换过程中，假和真分别用 +1 和 -1 表示，而非 0 和 1。例如，合取式 x ∧ y 对应的多线性多项式是 $\frac{1}{2}(1 + x + y - xy)$。布尔关系的多线性多项式表示使得我们可以考虑可满足性的松弛情况，即变量可以在某个合适的空间取值，而非仅在二元布尔代数中取值。

这种松弛情况在几十年前的物理学基础研究中就已被考虑，它在区分经典理论和量子理论方面发挥了作用。特别地，存在一个二元域上的线性方程组，在 {+1, -1} 上无解，但对应的多线性多项式方程组在一个四维希尔伯特空间上通过给变量赋值线性算子有解。Mermin - Peres 魔方阵就是这类系统最著名的例子。这些构造为著名的Kochen - Specker定理（关于无法通过隐变量解释量子力学）提供了简洁的证明。最近