13、广义分离拓扑空间的模态逻辑

广义分离拓扑空间的模态逻辑

1 引言

在模态逻辑的研究中，拓扑语义学是一个富有成果的分支。McKinsey和Tarski提出将一元模态算子♦解释为拓扑空间的闭包算子C和导集算子d，从而产生了模态逻辑的拓扑C - 语义和d - 语义。所有拓扑空间的C - 逻辑是模态逻辑S4，d - 逻辑是模态逻辑wK4，并且C - 语义和d - 语义之间的基本联系使得模态逻辑S4可以嵌入到wK4中。

拓扑学中常见的分离公理包括T0（Kolmogorov）、T1（Fréchet）、T2（Hausdorff）、T3（Vietoris/regular）和T4（Tietze/normal）等。在模态逻辑的d - 语义下，已有研究表明K4是所有Td - 空间（也称为T1/2 - 空间）以及所有Stone空间的d - 逻辑，T1、T2、T3和T4在模态逻辑中不是d - 可定义的，但T0 - 空间在基本模态语言中是d - 可定义的，并且wK4T0是所有T0 - 空间的d - 逻辑。

本文提出了集合分离的概念，并引入了广义分离公理。对于每个非零基数κ，定义了Tκ₀ - 空间。对于正整数n，引入了模态公式(tₙ₀)来d - 定义Tₙ₀ - 空间，证明了wK4Tₙ₀ = wK4 ⊕ tₙ₀是所有Tₙ₀ - 空间的d - 逻辑。然而，对于每个无限基数κ，所有Tκ₀ - 空间的类不是d - 可定义的。

2 预备知识

2.1 拓扑空间的基本概念

• 拓扑空间是一个对X = ⟨X, τ⟩，其中X ≠ ∅且τ ⊆ P(X)，满足X, ∅ ∈ τ，并且τ在任意并和有限交下封闭。τ中的元素称为开集，子集Y ⊆ X是闭集当且仅当X \ Y是开集。