26、科普曼算子理论：非线性动力系统的线性化视角

科普曼算子理论：非线性动力系统的线性化视角

1. 科普曼算子理论简介

在动力系统的研究中，科普曼算子理论近年来崭露头角，为我们提供了一个从测量函数 $g(x)$ 演化角度审视动力系统的新视角。早在 1931 年，Bernard O. Koopman 就证明了可以用一个作用于系统状态测量函数希尔伯特空间的无限维线性算子来表示非线性动力系统。这个所谓的科普曼算子是线性的，其谱分解能完全刻画非线性系统的行为，与某些经典的动力系统表示类似。然而，它是无限维的，因为描述所有可能的状态测量函数 $g$ 的空间需要无限多个自由度，这也带来了新的挑战。

目前，获取科普曼算子的有限维矩阵近似是研究的重点方向。一旦成功实现，就能为非线性动力系统提供全局线性表示。将非线性动力学置于线性框架下具有很大的吸引力，因为线性系统有丰富的最优估计和控制技术，还能对系统的未来状态进行解析预测。但在实际中，获得科普曼算子的有限维近似颇具挑战，这需要确定由科普曼算子的特征函数子集所张成的子空间。

2. 科普曼理论的数学表述

• 科普曼算子的定义 ：科普曼算子 $K_t$ 是一个无限维线性算子，它随着动力学的流动推进状态的测量函数。我们考虑实值测量函数 $g: M \to R$，这些函数是无限维希尔伯特空间的元素，通常也被称为可观测量。一般来说，希尔伯特空间由 $M$ 上的勒贝格平方可积函数构成，但其他测度空间的选择也是有效的。
  • 对于连续时间系统，科普曼算子的作用可以表示为 $K_tg = g \circ F_t$，其中 $\circ$ 是复合算子。
  • 对于离散时间系统，时间步长为 $\De