14、改进的（预算）节点加权斯坦纳问题近似算法与收缩层次结构搜索空间研究

改进的（预算）节点加权斯坦纳问题近似算法与收缩层次结构搜索空间研究

在图论和算法领域，节点加权斯坦纳问题以及收缩层次结构在最短路径计算等方面有着重要的应用。下面将详细介绍相关的研究内容和成果。

节点加权斯坦纳问题

在节点加权斯坦纳树设置中，有预算约束的问题是研究的重点。对于顶点 $v \in V$，用 $\pi(v)$ 表示顶点的奖励，$c(v)$ 表示顶点的成本。

预算斯坦纳树问题

在这个问题中，主要研究了有根和无根两种版本的预算问题，并提出了相应的近似算法。
- 有根预算问题
- 修剪方法 ：对于预算值 $B$ 和顶点 $r$，如果从 $r$ 到达任何顶点的成本至多为 $B$，则称图对于顶点 $r$ 是 $B$ - 恰当的。有如下引理：设 $T$ 是以 $r$ 为根的子树，奖励 - 成本比为 $\gamma$。假设基础图对于 $r$ 是 $B$ - 恰当的，且对于 $\epsilon \in (0, 1]$，树的成本至少为 $\frac{\epsilon B}{2}$，那么可以找到包含 $r$ 的树 $T^ $，其奖励 - 成本比至少为 $\frac{\epsilon}{4}\gamma$，且满足 $\frac{\epsilon}{2}B \leq c(T^ ) \leq (1 + \epsilon)B$。
- 近似算法 ：Moss 和 Rabani 给出了一个可能将预算违反两倍的 $O(\log n)$ 近似算法。利用上述引理，可以对这样的解进行修剪，以在预算违反和近似因子之间实现权衡。