12、枢纽标签优化及节点加权斯坦纳问题的改进近似算法

枢纽标签优化及节点加权斯坦纳问题的改进近似算法

在网络设计和图论问题中，寻找高效的近似算法来解决各种优化问题是一个重要的研究方向。本文将介绍枢纽标签优化的相关算法，以及节点加权斯坦纳问题的改进近似算法。

枢纽标签优化算法

同时进行 ℓ1 和 ℓ∞ 范数近似

可以将之前的结果扩展，以找到一个同时具有小的最大负载和小的平均负载的集合覆盖。给定非负的值 T 和 u，存在一个集合覆盖 C∗，满足 $\sum_{e\in R} A_{C^ }(e) \leq T$，且对于所有相关元素 $e\in R$，$A_{C^ }(e) \leq u$。目标是找到一个覆盖 C，使得 $|A_C| 1 \leq T \cdot O(\alpha \log N)$，且 $|A_C| {\infty} \leq u \cdot O(\alpha \log N)$。

算法步骤如下：
1. 使用之前定义的 $c_t(e)$、$c_t(S)$、$\Phi(t)$ 等，但重新定义 $\epsilon$ 为 $\frac{1}{24\alpha}$。
2. 定义 d - 成本为 $d_e = 1$ 对于 $e\in R$，则对于任何集合 S，$d(S) := |S \cap R|$。
3. 在第 t 轮，使用 α - 近似密度 oracle 选择一个集合 S，近似最小化“组合”比率：
$\frac{c_t(S) + \epsilon(\Phi(t)/T) \cdot d(S)}{|S \setminus X_t|}$

分析过程中，将集合分为 t - 轻集合和 t - 重集合。可以证明 t -