13、改进的（带预算）节点加权斯坦纳问题近似算法

改进的（带预算）节点加权斯坦纳问题近似算法

1. 引言

在图论和组合优化领域，斯坦纳树和斯坦纳森林问题是经典的难题。k - 斯坦纳树和 k - 最小生成树（k - MST）存在等价关系，结合 Garg 的 2 - 近似结果，可得到 k - 斯坦纳树的 2 - 近似算法。对于带奖赏收集的变体问题，边加权情况相对更容易处理，Byrka 等人给出了边加权斯坦纳树问题的最优已知近似比为 1.39。本文主要关注节点加权且无向的图。

2. 贡献与技术

2.1 PCSF 问题的近似算法

• 前人工作 ：Klein 和 Ravi 首次给出了 SF 问题的 O(log h)近似算法，其中 h 是连通性需求的数量。Guha 等人改进了该算法的分析，表明其近似比是相对于 ST 问题的分数最优解。Chekuri 等人独立地给出了针对 SF 和更高连通性问题的分数解的 O(log n)近似算法，并提供了从 PCSF 到 SF 问题的归约方法。
• 本文算法 ：提出了一种简单的原始 - 对偶 O(log h)近似算法来解决节点加权奖赏收集斯坦纳森林（PCSF）问题。与 Moss 和 Rabani 以及 Konemann 等人的 PCST 算法相比，该算法解决了更一般的问题，且分析更简单。

传统的护城河增长框架算法（如 Moss 和 Rabani 或 Konemann 等人的算法）包含增长阶段和修剪阶段。在节点加权问题中，处理护城河的增长和合并过程非常复杂，甚至 Moss 和 Rabani 的算法存在缺陷。而本文算法完全摒弃了修剪阶段，也不合并