6、连通传感器覆盖问题的近似算法研究

连通传感器覆盖问题的近似算法研究

1. 引言

在最小连通传感器覆盖问题中，输入包含欧几里得平面上的一组 $n$ 个传感器 $S$ 和一组 $m$ 个目标点 $A$。该问题可以轻松转化为分组斯坦纳树问题，下面我们将详细探讨相关的转化过程以及近似算法。

2. 问题转化与相关引理

• 分组斯坦纳树问题定义 ：考虑一个具有正边长度 $w : E →R+$ 的图 $G = (V, E)$。给定 $m$ 个顶点子集 $g_1, \ldots, g_m$，找到一个顶点子集上的最短树，使其与每个 $g_i$（$i = 1, \ldots, m$）都有交集（交集非空）。
• 转化过程 ：将 $V$ 设为 $S$，对于所有传感器通信网络 $G$ 中的每条边 $(s, s’)$，令 $w(s, s’) = 1$。对于每个目标点 $a_i$，设置一个由所有覆盖 $a_i$ 的传感器组成的组 $g_i$。由于每条边的长度为 1，顶点子集 $S’$ 上的树的总边长度等于 $|S’| - 1$，这与最小连通传感器覆盖问题的目标函数值相差 1。
• 引理 4.6.2 ：如果分组斯坦纳树问题有一个多项式时间的 $\rho$-近似算法，那么最小连通传感器覆盖问题也有。

3. 随机 $O(\log^2 n \log m)$-近似算法

• 定理 4.6.3 ：对于任何 $0 < ε < 1$，存在一个分组斯坦纳树问题的多项式时间近似算法，