13、三元弯曲函数的吉布斯特征

三元弯曲函数的吉布斯特征

1. 引言

在研究函数的过程中，弯曲函数因其独特的性质而备受关注。此前对二元弯曲函数的吉布斯特征已有一定的研究，现在我们尝试将其扩展到三元函数。不过，由于二元和三元弯曲函数存在差异，直接扩展是不可行的，并非所有三元弯曲函数都能方便地用吉布斯导数来表征，但我们仍能得出一些有趣的结论。

2. 谱系数的限制

在计算二元函数的沃尔什谱时，采用编码 $(0, 1) → (1, -1)$ ，沃尔什谱系数的可能值存在一些限制。具体来说，所有系数要么为 0，要么是绝对值不大于 $2^n$ 的偶数（其中 $n$ 是变量的数量）。而且，并非该范围内所有可能的偶数组合都允许出现在二元函数的谱中，只有某些明确定义的组合才行。这些要求刻画了二元函数的沃尔什谱，使其与能取两个以上值的其他离散函数的谱区分开来。

对于三元函数的维连金 - 克雷斯顿谱，也有类似的限制。在编码 $(0, 1, 2) → (1, e1, e2)$ 下，三元函数谱中维连金 - 克雷斯顿谱系数的复数实部和虚部的值并非所有组合都被允许。这些限制是三元函数维连金 - 克雷斯顿谱的一个特征。

3. 弯曲函数的定义与吉布斯导数

弯曲函数的定义要求其维连金 - 克雷斯顿谱是平坦的。有限阿贝尔群上的吉布斯导数（包括三元函数的定义域群 $C_3^n$ ）是用维连金 - 克雷斯顿变换而非二元情况下使用的沃尔什变换来定义的。确保维连金 - 克雷斯顿谱系数是三元函数谱中的系数的限制，以及弯曲函数谱必须平坦的限制，导致了弯曲函数吉布斯系数的某些限制。我们接下来会讨论吉布斯系数值的限制，这些限制至少可用于表征三元弯曲函数的某些子集。

4. 单变量