19、一类四元弯曲函数的吉布斯特征

一类四元弯曲函数的吉布斯特征

1. 一元四元弯曲函数

在三元函数的情况下，一个函数为弯曲函数的必要条件是其函数值之和模 3 等于 0。对于一元四元弯曲函数，下面将详细介绍其相关特性。

1.1 基于 VC - 吉布斯导数的分类

所有 32 个一元四元弯曲函数及其 VC - 吉布斯导数的绝对值被列于表 5.4 中。在计算时，函数值按照计算维伦金 - 克雷斯特森谱的方式进行编码，即 (0, 1, 2, 3) → (1, i, -1, -i)，并使用 Matlab 中的 round 函数将绝对值转换为整数。

可以观察到，所有一元四元弯曲函数的 VC - 吉布斯系数之和模 4 等于 2，而函数值之和模 4 可以是 0 或 2。具体情况如下：
- 当函数值之和模 4 等于 2 时，VC - 吉布斯导数为 (D_{VC} = [1113]^T) 或其移位版本。
- 当函数值之和模 4 等于 0 时，VC - 吉布斯导数为 (D_{VC} = [0222]^T) 或其移位版本。

需要注意的是，函数向量在编码上相同的函数具有相同的 VC - 吉布斯导数。因此，给定一个弯曲函数 (f) 的 VC - 吉布斯导数，通过对其值进行各种编码得到的其他几个弯曲函数也具有相同的 VC - 吉布斯导数。函数向量是给定弯曲函数 (f) 的函数向量的循环移位版本的函数，其 VC - 吉布斯导数是 (f) 的 VC - 吉布斯导数的移位版本。

例如，在表 5.4 中，第 2、3、14 行的函数是通过对第一行函数进行编码得到的：
- (f_1 → f_2)：(0 ↔ 2)
- (f_1 → f_3)：(0 → 1)，