1、弯曲函数：概念、特性与构造方法

弯曲函数：概念、特性与构造方法

1. 弯曲函数概述

弯曲函数是布尔函数中一类特殊的函数，它们被定义为具有最高非线性度的布尔函数。尽管在总数为 (2^{2^n})（其中 (n) 是变量的数量）的布尔函数中，弯曲函数只占极小的一部分，但它们是非常有趣的数学对象，带来了许多具有挑战性的任务，如生成、表征、分类和计数弯曲函数等。由于其高非线性度，弯曲函数在密码学中具有一定的应用价值，可作为推导具有有用特性序列的基础。

1.1 不同取值的弯曲函数

研究主要集中在 (p = 2)、(3)、(4) 时的弯曲函数，分别称为二元、三元和四元弯曲函数。对于这些不同取值的弯曲函数，有两个基本的观察结果：
- 函数值分布 ：在二元情况下，真值向量中非零值的数量严格确定为两个可能的值，且与变量数量有关（变量数量应为偶数自然数）。具有相同非零值数量的二元弯曲函数的真值向量可通过置换相互关联。对于多值弯曲函数，“组成”概念指定了 (p) 个值在函数向量中各自出现的次数，而“分布”概念则指定了每个值在函数向量中必须出现的次数，但不明确指出具体是哪个值出现了多少次。因此，分布是一个更通用的概念，一个分布可以涵盖各种组成。具有相同组成的 (p) 值弯曲函数可通过置换相互关联，而具有相同分布的函数则通过函数值的编码相关联。
- 谱不变性 ：向弯曲函数添加仿射函数可以保持其弯曲性。从谱变换的角度来看，这意味着在二元和 (p) 值情况下，分别通过沃尔什变换和维连金 - 克雷斯顿变换（统一视为相应有限阿贝尔群上的傅里叶变换）保持平坦谱。当所有谱系数的绝对值都等于 (p^{\frac{n}{2}}) 时，谱被称为平坦谱。保持谱