7、有限阿贝尔群上的吉布斯导数

有限阿贝尔群上的吉布斯导数

1. 吉布斯导数的起源与背景

吉布斯二元微分（更广泛地说，吉布斯导数）的概念起源于 20 世纪 60 年代末到 70 年代初对沃尔什分析的研究。当时，由于进行傅里叶分析的计算资源有限，主要关注离散沃尔什分析。离散沃尔什分析的核是离散沃尔什函数，这些函数被视为有限二元群 (C_2^n) 上的函数。离散沃尔什变换是该群上的傅里叶变换，计算效率很高，因为沃尔什函数只取两个整数值 (1) 和 (-1)，而不是傅里叶变换所需的复数。

有限二元群是二元变量的二元函数（即布尔或逻辑函数）的自然定义域，这解释了该概念的提出者埃德蒙·J·吉布斯最初使用“逻辑导数”这一名称的原因，现在我们使用“吉布斯二元导数”这一术语。这一定义随后被皮克勒扩展到连续非负实变量的实值函数，布策尔和瓦格纳又将其扩展到无限二元群，即区间 ([0, 1))。

逻辑（二元）导数及其各种推广（我们称之为吉布斯导数）被视为群上函数的特定微分算子，从有限二元群开始，经过无限二元群，到局部紧阿贝尔群和有限非阿贝尔群。

2. 有限阿贝尔群上的吉布斯导数

考虑有限阿贝尔群 (C_2^n)、(C_3^n) 和 (C_4^n) 上的吉布斯导数，它们的群表示分别是沃尔什函数和维伦金 - 克雷斯顿函数。我们还使用相对于 GF 表达式和 RMF 表达式定义的吉布斯导数，它们分别被视为三元和四元函数的类傅里叶表示。由于对于 (p = 3) 的 GF 表达式和 (p = 4) 的 RMF 表达式是模 (p) 运算，这意味着我们在模 (3) 和模 (4) 的整数环中工作。

相应的吉布斯导数用于刻画二元、三元和四元弯曲函数，这些函数被统一定义为分别具有平坦沃尔什和