17、三元弯曲函数的吉布斯表征

三元弯曲函数的吉布斯表征

1. 函数变换与矩阵应用

在三元弯曲函数的研究中，涉及到多个函数之间的变换以及矩阵的应用。例如，有函数 (f_1 = x_1x_3 \oplus x_2^2)，通过特定的矩阵变换可以得到其他函数。

1.1 矩阵 (P_4(3)) 的作用

定义矩阵 (P_4(3) = P_{16} \otimes X_1^T)，它能将函数 (f_1) 的函数向量进行转换。具体来说，它把 (f_1) 的函数向量转换为 (G_4(3) = [22, 23, 21, 13, 14, 12, 4, 5, 3, | 19, 20, 18, 10, 11, 9, 1, 2, 0, | 25, 26, 24, 16, 17, 15, 7, 2, 6]^T) 。

同时，该矩阵还能将 (f_1) 的函数向量转换为函数 (f_3 = 2x_3 \oplus 2x_2 \oplus 2x_2x_3 \oplus x_1 \oplus x_1^2) 的函数向量 (F_2 = [0, 2, 1, 2, 0, 1, 1, 1, 1, | 2, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 0, | 0, 2, 1, 2, 0, 1, 1, 1, 1]^T) 。函数 (f_3) 可由 (f_1) 通过变量 (x_1) 和 (x_2) 的置换，以及 (x_1 \to 2x_1 \oplus 1) 和 (x_2 \to 2x_2 \oplus 2) 的替换（对应 (P_{16}) ），再接着进行 (x_3 \to x_3 \oplus 1) 的替换（对应 (X_1^T) ）得到。

1.2 函数 (f_2) 的推导

函数 (f_2 = 2 \oplus 2x_