14、三元弯曲函数的光谱不变运算与吉布斯特征

三元弯曲函数的光谱不变运算与吉布斯特征

1. 光谱不变运算与三元弯曲函数

在三元弯曲函数的研究中，光谱不变运算和置换矩阵起着重要作用。对于一个三元弯曲函数 $f_2 = x_1x_2 \oplus x_1$，其函数向量 $F_2$ 可表示为 $F_2 = PF = [0, 0, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 0]^T$，这里的置换矩阵 $P$ 对该函数进行的置换对应于变量 $x_1$ 的加法。即：
$F_2 = F \oplus x_1 = [0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 2, 1]^T \oplus [0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2]^T = [0, 0, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 0]^T$

矩阵 $P$ 具有块结构，可写为 $P = diag(R, R, R)$，其中 $R = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$。矩阵 $R$ 可将表 4.1 中的函数向量 $F_1$、$F_4$、$F_7$、$F_{10}$、$F_{13}$、$F_{16}$ 转换为 $F_3$、$F_6$、$F_9$、$F_{12}$、$F_{15}$、$F_{18}$。

在构造弯曲函数时，需注意某些光谱不变运算的重复应用可能会得到可由其他光谱不变运算产生的弯曲函数。同样，将置换矩阵应用于三元弯曲函数的函数向量时，不同的置换矩阵应用于不同的初始函数可能会产生相同的弯曲函数。此外，三元弯曲函数的函数向量中可能存在相同值的块，由光谱不变运算导出的置换矩阵具有与三元变量中相同值序列或相同子序列相对应的块结构。因此