16、周期性抖动对飞行时间（ToF）测量的影响分析

周期性抖动对飞行时间（ToF）测量的影响分析

1. 第一类贝塞尔函数特性

第一类贝塞尔函数 (J_n(\beta)) 具有独特的性质。对于任意正阶数（整数或非整数），函数在原点 (\beta = 0) 处是有限的；而对于负阶数，当 (x) 趋近于零时函数发散。贝塞尔函数会振荡但并非周期性的，不过当 (\beta \to \infty) 时，其零点会变得等距。并且，(J_n(\beta)) 的振幅并非恒定，而是渐近地以 (1/\sqrt{\beta}) 的方式减小。图 1 展示了 (n = 0, 1, 2, 3) 时的第一类贝塞尔函数 (J_n(\beta))。

在相关分析中，我们主要关注 (9.48) 式中具有正自变量的整数阶贝塞尔函数，因为阶数 (n) 代表傅里叶级数展开中的谐波数，且 (\beta = 2\pi f A_{PJ} \geq 0)。

2. 周期性抖动导致的相位误差计算

周期性抖动在相关模型中导致的相位误差 (\varphi_{err}) 可以通过两种方法分别计算：
[
\varphi_{err} =
\begin{cases}
|\varphi - \varphi_{cal}^{num}|, & \text{通过数值方法，使用 (9.26) 和 (2.12) 式}\
|\varphi - \varphi_{cal}^{ana}|, & \text{通过解析方法，使用 (9.48) 式}
\end{cases}
]

下面分析通过解析方法计算的相位误差。结合 (9.49) 式，相位误差 (\varphi_{err}) 为：
[