23、自动机与形式语言：原理、应用与问题解析

自动机与形式语言：原理、应用与问题解析

1. 自动机概述

自动机作为计算机科学和形式语言理论中的重要概念，是对不同类型语言进行识别和处理的计算模型。常见的自动机包括有限状态自动机（FSA）、下推自动机（PDA）等，它们在自然语言处理、编译器设计等领域有着广泛的应用。在众多自动机中，一些是对PDA的扩展，主要分为两类：一类是具有多个栈的自动机，另一类是栈结构更复杂（如栈的栈）的自动机。其中，嵌入式下推自动机（EPDA）和双栈自动机（2 - SA）等受限版本的自动机能够精确识别树邻接语言（TAL）。

2. 线程自动机（TA）

线程自动机（TA）是一种强大的自动机，能够识别所有线性上下文无关重写语言（LCFRLs），即由线性上下文无关重写系统（LCFRS）、等价的简单范围连接文法（simple RCG）和多上下文无关文法（MCFG）生成的语言。对于给定的树邻接文法（TAG）或简单RCG，可以构造出等价的TA。TA模拟了对派生树的自顶向下、从左到右的遍历，类似于Earley风格的识别。Villemonte de la Clergerie（2002）提出了TA的多项式实现。

例如，对于一个TA：$M = \langle N, T, S, ret, \kappa, K, \delta, U, \Theta\rangle$，其中$N = {S, S’, SA, SB, A, B, ret}$，$T = {a, b}$，$K = N$且$\kappa$为恒等映射，$\delta(S) = \delta(A) = \delta(SA) = \delta(B) = \delta(SB) = 1$，$\delta(ret) = \perp$，其转换规则如下：
- $S \to [S]S’$
- $S’ \xrightarrow{a} A2$
- $S’ \xrightarrow{a} SA$
- $SA \to [SA]S’$
- $S’ \xrightarrow{b} B2$
- $S’ \xrightarrow{b} SB$
- $SB \to [SB]S’$
- $A2 \xrightarrow{a} ret$
- $[SA]ret \to A2$
- $B2 \xrightarrow{b} ret$
- $[SB]ret \to B2$

这个TA接受的字符串语言是${ww^R | w \in {a, b}^+}$。对于长度为4的单词$w = abba$，其成功的线程集和操作过程如下表所示：
| 线程集 | 剩余输入 | 操作 |
| — | — | — |
| $\varepsilon : S$ | $abba$ | |
| $\varepsilon : S, 1 : S’$ | $abba$ | $S \to [S]S’$ |
| $\varepsilon : S, 1 : SA$ | $bba$ | $S \xrightarrow{a} SA$ |
| $\varepsilon : S, 1 : SA, 11 : S’$ | $bba$ | $SA \to [SA]S’$ |
| $\varepsilon : S, 1 : SA, 11 : B2$ | $ba$ | $S’ \xrightarrow{b} B2$ |
| $\varepsilon : S, 1 : SA, 11 : ret$ | $a$ | $B2 \xrightarrow{b} ret$ |
| $\varepsilon : S, 1 : A2$ | $a$ | $[SA]ret \to A2$ |
| $\varepsilon : S, 1 : ret$ | $\varepsilon$ | $A2 \xrightarrow{a} ret$ |

3. 形式语言层次结构

形式语言存在着明确的层次结构，不同类型的文法和自动机对应着不同的语言类。以下是常见的形式语言层次结构：
| 语言类 | 文法和自动机 | 典型语言 |
| — | — | — |
| 上下文无关语言（CFL） | 上下文无关文法（CFG）、1 - MCFG、PDA | $L1 = {a^nb^n | n \geq 0}$ |
| 树邻接语言（TAL） | TAG、LIG、CCG、树局部MCTAG、EPDA | $L2 = {a^nb^nc^n | n \geq 0}$，$L3 = {ww | w \in {a, b}^ }$ |
| 2 - LCFRS、2 - MCFG、简单2 - RCG | | $L4 = {a_1^na_2^na_3^na_4^na_5^n | n \geq 0}$，$L5 = {www | w \in {a, b}^ }$ |
| LCFRS、MCFG、简单RCG、MG、集局部MCTAG、有限复制LFG | 线程自动机（TA） | |
| PMCFG | | $L6 = {a^{2n} | n \geq 0}$ |
| RCG、简单LMG | | （= PTIME），适度上下文敏感 |

除了线性上下文无关重写系统（LCFRS）和线程自动机（TA）之间的关系外，其他语言类之间的包含关系都是真包含关系。目前尚不清楚LCFRS和TA是否能产生相同的语言类。

4. 常见问题及解答

在自动机和形式语言的学习过程中，会遇到各种问题。以下是一些常见问题的解答：

4.1 上下文无关文法相关问题

• 对于语言$L2 = {a^nb^n | n \geq 0}$，可以用文法$G = \langle N, T, P, S\rangle$来生成，其中$N = {S}$，$T = {a, b}$，起始符号为$S$，产生式为$S \to aSb$和$S \to \varepsilon$。
• 假设存在一个上下文无关文法（CFG）能生成$L2$，其产生式形式为$X \to \alpha a\beta b\gamma$。若将这些产生式中的$X \to \alpha a\beta b\gamma$替换为$X \to \alpha a\beta a\gamma$和$X \to \alpha b\beta b\gamma$，会得到一个生成复制语言的CFG，但复制语言不是上下文无关语言，这就产生了矛盾。

4.2 树邻接文法相关问题

• 对于语言$L3 = {a^nb^nc^n | n \geq 0}$，可以构造一个树邻接文法（TAG）来生成它。但不存在无邻接约束的TAG来生成$L3$。假设存在这样的TAG $G$，且$G$无替换节点，它至少有一个叶子标有终结符的辅助树$\beta$，$\beta$中$a$、$b$、$c$的数量必须相等。若$\beta$的产出为$a^ib^ic^i$（$i \geq 1$），对于其脚节点的不同位置，会推导出不在$L3$中的单词，从而产生矛盾。
• 由于$L3$是树邻接语言（TAL），根据连接封闭性，${w_1w_2 | w_1, w_2 \in L3} = {a^nb^nc^na^mb^mc^m | n, m \geq 0}$也是TAL。
• 复制语言是TAL，$a^ b^ a^ b^ $是正则语言，根据与正则语言的交集封闭性，${ww | w \in {a, b}^ } \cap a^ b^ a^ b^* = {a^ib^ja^ib^j | i, j \geq 0}$是TAL。

4.3 多上下文无关文法相关问题

• 对于文法$S(XY ZU) \to A(X, Z)B(U, Y)$，$A(aX, aZ) \to A(X, Z)$，$A(\varepsilon, c) \to \varepsilon$，$B(Xb, Y b) \to B(X, Y)$，$B(\varepsilon, c) \to \varepsilon$，$C(aXY) \to D(X)C(Y)$，$D(d) \to \varepsilon$：
  • 首先将其简化为有序简单RCG，将$S(XY ZU) \to A(X, Z)B(U, Y)$转换为$S(XY ZU) \to A(X, Z)B_{\langle 2,1\rangle}(Y, U)$，并添加$B_{\langle 2,1\rangle}(Y b, Xb) \to B(X, Y)$和$B_{\langle 2,1\rangle}(c, \varepsilon) \to \varepsilon$，再将$B_{\langle 2,1\rangle}(Y b, Xb) \to B(X, Y)$转换为$B_{\langle 2,1\rangle}(Y b, Xb) \to B_{\langle 2,1\rangle}(Y, X)$，用新符号$E$代替$B_{\langle 2,1\rangle}$。
  • 然后去除无用规则，去除$S(XY Z) \to A(X, Z)C(Y)$和$C(aXY) \to D(X)C(Y)$，以及$D(d) \to \varepsilon$，$B(Xb, Y b) \to B(X, Y)$和$B(\varepsilon, c) \to \varepsilon$。
  • 最后去除$\varepsilon$ - 规则，得到最终的产生式。该文法生成的字符串语言是${a^nc^mb^na^nc^mb^m | n, m \geq 0}$。

4.4 范围连接文法相关问题

• 对于文法$S(XY) \to A(X, X)B(Y, Y)$，$A(aX, bY) \to A(X, Y)$，$B(cX, dY) \to B(X, Y)$，$A(bX, Y) \to A(X, Y)$，$B(dX, Y) \to B(X, Y)$，$A(X, aY) \to A(X, Y)$，$B(X, cY) \to B(X, Y)$，$A(\varepsilon, \varepsilon) \to \varepsilon$，$B(\varepsilon, \varepsilon) \to \varepsilon$：
  • 该文法生成的语言是${w_1w_2 | w_1 \in {a, b}^ $且$|w_1|_a = |w_1|_b$，$w_2 \in {c, d}^ $且$|w_2|_c = |w_2|_d}$。
  • $First(A, 1) = First(A, 2) = {a, b, \varepsilon}$，$First(B, 1) = First(B, 2) = {c, d, \varepsilon}$。
  • 可能的过滤条件包括：$A$的组件属于${a, b}^ $，$B$的组件属于${c, d}^ $；对于$A$或$B$的产出中的每个范围向量$(\langle l_1, r_1\rangle, \langle l_2, r_2\rangle)$，有$r_1 = r_2$。

通过对自动机和形式语言的深入学习，我们可以更好地理解不同类型语言的特性和处理方法，为相关领域的研究和应用打下坚实的基础。

5. 自动机的转换与构造

在自动机的研究中，经常需要对自动机进行转换和构造，以满足不同的需求。以下是一些常见的自动机转换和构造问题及解答。

5.1 嵌入式下推自动机（EPDA）的转换

对于一个EPDA $M = \langle Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Q_F, Z_0\rangle$，若要构造一个新的EPDA $M’$，使得$N(M) = L(M’)$，可以按以下步骤进行：
- 定义新的状态和栈符号：$M’ = \langle Q \cup {q’_0, q_f}, \Sigma, \Gamma \cup {Z’_0}, \delta’, q’_0, {q_f}, Z’_0\rangle$，其中$q’_0 \neq q_f$，$q’_0, q_f \notin Q$，$Z’_0 \notin \Gamma$。
- 扩展转移函数$\delta’$：
- $\delta’(q’_0, \varepsilon, Z’_0) = {(q_0, \varepsilon, Z’_0, ‡#)}$
- $\delta’(q_3, \varepsilon, Z’_0) = {(q_f, \varepsilon, Z’_0, \varepsilon)}$
- 在其他情况下，$\delta’$的定义与原$\delta$相同。

5.2 构造接受复制语言的EPDA

要构造一个接受复制语言${ww | w \in {a, b}^*}$且以空栈接受的EPDA $M$，可以定义如下：
$M = \langle {q_0, q_1, q_2, q_3}, {a, b}, {#, A, B}, \delta, q_0, {q_3}, #\rangle$，其中转移函数$\delta$的定义如下：
- $\delta(q_0, \varepsilon, #) = {(q_3, \varepsilon, ε, ε), (q_1, ε, #, ε)}$
- $\delta(q_1, a, X) = {(q_1, ε, XA, ε)}$
- $\delta(q_1, b, X) = {(q_1, ε, XB, ε)}$
- $\delta(q_1, ε, X) = {(q_2, ε, X, ε)}$
- $\delta(q_2, ε, A) = {(q_2, ‡A, ε, ε)}$
- $\delta(q_2, ε, B) = {(q_2, ‡B, ε, ε)}$
- $\delta(q_2, ε, #) = {(q_3, ε, ε, ε)}$
- $\delta(q_3, a, A) = {(q_3, ε, ε, ε)}$
- $\delta(q_3, b, B) = {(q_3, ε, ε, ε)}$
其中$X \in \Gamma$。

6. 自动机的识别与分析

自动机的识别和分析是研究自动机的重要环节。以下是一些关于自动机识别和分析的问题及解答。

6.1 线程自动机（TA）的识别

对于给定的线程自动机（TA）$M = \langle N, T, S, ret, \kappa, K, \delta, U, \Theta\rangle$，要确定其接受的字符串语言，可以通过分析其转换规则来实现。例如，对于前面提到的TA，其转换规则如下：
- $S \to [S]S’$
- $S’ \xrightarrow{a} A2$
- $S’ \xrightarrow{a} SA$
- $SA \to [SA]S’$
- $S’ \xrightarrow{b} B2$
- $S’ \xrightarrow{b} SB$
- $SB \to [SB]S’$
- $A2 \xrightarrow{a} ret$
- $[SA]ret \to A2$
- $B2 \xrightarrow{b} ret$
- $[SB]ret \to B2$

通过对这些规则的分析，可以得出该TA接受的字符串语言是${ww^R | w \in {a, b}^+}$。对于长度为4的单词$w = abba$，其成功的线程集和操作过程如下表所示：
| 线程集 | 剩余输入 | 操作 |
| — | — | — |
| $\varepsilon : S$ | $abba$ | |
| $\varepsilon : S, 1 : S’$ | $abba$ | $S \to [S]S’$ |
| $\varepsilon : S, 1 : SA$ | $bba$ | $S \xrightarrow{a} SA$ |
| $\varepsilon : S, 1 : SA, 11 : S’$ | $bba$ | $SA \to [SA]S’$ |
| $\varepsilon : S, 1 : SA, 11 : B2$ | $ba$ | $S’ \xrightarrow{b} B2$ |
| $\varepsilon : S, 1 : SA, 11 : ret$ | $a$ | $B2 \xrightarrow{b} ret$ |
| $\varepsilon : S, 1 : A2$ | $a$ | $[SA]ret \to A2$ |
| $\varepsilon : S, 1 : ret$ | $\varepsilon$ | $A2 \xrightarrow{a} ret$ |

6.2 自动机的时间复杂度分析

在分析自动机的时间复杂度时，通常需要考虑规则的应用次数。例如，对于某个自动机的complete规则：
$[B, ρ_B], [C, ρ_C]$
$[A, ρ_A]$
$A(ρ_A) \to B(ρ_B)C(ρ_C)$是关于$w$的子句$c$的实例化

由于最大元数为$k$，每个前件项最多有$2k$个范围边界。在最坏情况下，$A$、$B$、$C$的元数都为$k$，且每个左部参数只包含两个变量，这会导致有$3k$个独立的范围边界，因此整个算法的时间复杂度为$O(n^{3k})$。

7. 形式语言的生成与判定

形式语言的生成和判定是形式语言理论的核心内容。以下是一些关于形式语言生成和判定的问题及解答。

7.1 简单范围连接文法（simple RCG）生成语言

• 对于语言$L1$，可以用简单范围连接文法$G1 = \langle {S, A}, {c, d}, {X, Y, U, V}, S, P\rangle$来生成，其中$P$包含以下子句：
  • $S(XY UV) \to A(X, Y, U, V)$
  • $A(cX, cY, cU, cV) \to A(X, Y, U, V)$
  • $A(dX, dY, dU, dV) \to A(X, Y, U, V)$
  • $A(ε, ε, ε, ε) \to ε$
• 对于语言$L2$，只能用非简单范围连接文法$G2 = \langle {S, eq}, {a}, {X, Y, Z}, S, P\rangle$来生成，其中$P$包含以下子句：
  • $S(XY Z) \to S(X)eq(X, Y, Z)$
  • $S(a) \to ε$
  • $eq(aX, aY, aZ) \to A(X, Y, Z)$
  • $eq(a, a, a) \to ε$

7.2 简单字面移动文法（simple LMG）生成语言

• 语言$L1$可以由线性非擦除简单字面移动文法$G3$生成，$G3$包含与生成$L1$的简单RCG相同的子句。
• 语言$L2$可以由简单字面移动文法$G4 = \langle {S}, {a}, {X}, S, P\rangle$生成，其中$P$包含以下子句：
  • $S(XXX) \to S(X)$
  • $S(a) \to ε$

8. 自动机与形式语言的应用

自动机和形式语言在许多领域都有广泛的应用，如自然语言处理、编译器设计等。以下是一些具体的应用示例。

8.1 自然语言处理

在自然语言处理中，自动机可以用于语法分析和语言生成。例如，树邻接文法（TAG）可以用于分析句子的结构，线程自动机（TA）可以用于识别特定的语言模式。

8.2 编译器设计

在编译器设计中，自动机可以用于词法分析和语法分析。例如，有限状态自动机（FSA）可以用于识别单词，下推自动机（PDA）可以用于分析语法结构。

9. 总结

自动机和形式语言理论是计算机科学的重要基础，它们为我们理解和处理不同类型的语言提供了强大的工具。通过对自动机的转换、构造、识别和分析，以及对形式语言的生成和判定，我们可以更好地应用这些理论解决实际问题。在实际应用中，我们需要根据具体需求选择合适的自动机和文法，以提高处理效率和准确性。

同时，我们也应该注意到，虽然目前已经取得了很多研究成果，但仍然存在一些未解决的问题，如线性上下文无关重写系统（LCFRS）和线程自动机（TA）之间的关系。未来的研究可以进一步探索这些问题，推动自动机和形式语言理论的发展。

以下是自动机和形式语言相关概念的关系图：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px

    A([自动机]):::startend --> B(有限状态自动机FSA):::process
    A --> C(下推自动机PDA):::process
    A --> D(嵌入式下推自动机EPDA):::process
    A --> E(双栈自动机2 - SA):::process
    A --> F(线程自动机TA):::process
    G([形式语言]):::startend --> H(上下文无关语言CFL):::process
    G --> I(树邻接语言TAL):::process
    G --> J(线性上下文无关重写语言LCFRLs):::process
    B --> H
    C --> H
    D --> I
    E --> I
    F --> J

通过这个关系图，我们可以更清晰地看到自动机和形式语言之间的对应关系，有助于我们更好地理解和应用这些概念。