19、随机抖动对相关模型相位误差的影响分析

随机抖动对相关模型相位误差的影响分析

1. 相关模型与相位误差计算

在研究随机抖动对相关模型的影响时，首先得到了如下公式。最初的公式（10.16）演变为：
[
\Delta I(\omega) = \pi (\delta(\omega - 1) + \delta(\omega + 1)) \int_{-T/2}^{T/2} e^{i2\pi f_s(t + \varepsilon_s(t))} \cos(2\pi f_l(t + \varepsilon_l(t)) - \varphi) dt
]
当仅考虑基频（(\omega = 1)）时，有：
[
\Delta I(1) = \pi \int_{-T/2}^{T/2} e^{i2\pi f_s(t + \varepsilon_s(t))} \cos(2\pi f_l(t + \varepsilon_l(t)) - \varphi) dt
]
由此，相关模型的相位误差(\varphi_{err})可通过以下公式计算：
[
\varphi_{err} = \left| \varphi - \angle \left[ \pi \int_{-T/2}^{T/2} e^{i2\pi f_s(t + \varepsilon_s(t))} \cos(2\pi f_l(t + \varepsilon_l(t)) - \varphi) dt \right] \right|
]
其中，(\angle)表示所得函数的角度。

2. 相位误差的估计

为了估计相位误差，采用了非参数估计方法。由于参数的均值(\mu)可通过系统中的偏移调整进行控制，因此方差(\sigma^2)（或标准差(\sigma)）更为重要。相位误差的标准差(\sigma_{\varphi_{err}})可通过以下公式计算：
[
\sigma_{\varphi_{err}} = \sqrt{ \frac{ \sum_{j = 1}^{M} F_j (x_j - \overline{x})^2 }{ \sum_{j = 1}^{M} F_j - 1 } }
]
其中，(F_j)是样本数据元素(x_j)的相应频率计数，(\overline{x})是数据元素的样本均值，可通过以下公式计算：
[
\overline{x} = \frac{ \sum_{j = 1}^{M} F_j x_j }{ \sum_{j = 1}^{M} F_j }
]

为了获得典型的相位误差（相位误差标准差的均值），需要多次重复计算上述公式（设(k = 1, 2, \cdots, K)），然后取平均值：
[
\overline{\sigma} {\varphi {err}} = \sqrt{ \frac{ \sum_{k = 1}^{K} \sigma_{\varphi_{err}k}^2 }{ K } }
]
其中，(\sigma_{\varphi_{err}k}^2)是第(k)组的相位误差方差。同时，为了得到结果的不确定性，由于假设相关函数中因随机抖动产生的误差服从高斯分布，使用以下公式计算标准误差：
[
SE(\overline{\sigma} {\varphi {err}}) = \pm \frac{ std(\overline{\sigma} {\varphi {err}}) }{ \sqrt{K} }
]
其中，(std(\cdot))是(K)组中(\overline{\sigma} {\varphi {err}})的标准差，可通过以下公式计算：
[
std(\overline{\sigma} {\varphi {err}}) = \sqrt{ \frac{ \sum_{k = 1}^{K} (\sigma_{\varphi_{err}k} - \overline{\sigma} {\varphi {err}})^2 }{ K - 1 } }
]
最终，典型相位误差的测量结果为：
[
\overline{\sigma} {\varphi {err}} = \overline{\sigma} {\varphi {err}} \pm \frac{ std(\overline{\sigma} {\varphi {err}}) }{ \sqrt{K} }
]

3. 模拟设置

在模拟过程中，考虑了以下因素：
- 随机抖动 ：假设随机抖动服从高斯分布(N(\mu, \sigma^2))，其中均值(\mu_l = \mu_s = 0) ps，标准差采用21对RMS值([(0, 0), (50, 51), \cdots, (950, 951), (1000, 1001)]) ps。
- 积分周期 ：选择了四个积分周期(T = {1, 0.1, 0.01, 0.001}) ms，大多数当前的AMCW ToF相机工作在1 ms（或左右）的积分周期。
- 调制频率 ：对14个调制频率(f = 10 - 1000) MHz进行了评估。
- 样本数量 ：为了满足奈奎斯特准则，每个周期的样本数量(N)应至少是积分周期内周期数(N_{cyl,T} = fT)的两倍，即(N = N_{int} fT)，其中(N_{int} \gg 2N_{cyl,T})是为模拟选择的足够数量的样本。在模拟中，为了保持每个周期固定的样本数量(N = 100)，相应地选择了积分周期内的样本数量(N_{int})。
- 模拟方法 ：采用梯形积分进行模拟，因为它是一种简单直接的方法，且执行时间相对较短。

模拟设置的参数总结如下表：
| 飞行时间系统参数 | 详情 |
| ---- | ---- |
| 积分周期（毫秒） | (T = 1, 0.1, 0.01, 0.001) ms |
| 频率 (f)（MHz） | (10, 30, 50, 80, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000) |
| 每个周期的样本数 (N) | 100 |
| 不同积分周期下的样本数 (N_{int}) | 见具体计算 |
| 随机抖动 | 高斯分布 (N(\mu, \sigma^2))，(\mu_l = \mu_s = 0) ps，21对RMS值 |
| 独立评估次数 (nEval) | 500 |
| 重复次数 (nSet) | 50 |
| 相位误差标准 | (\sigma_{\varphi_{err}} = 0.1) 和 1 毫弧度（mrad） |

模拟流程可通过以下mermaid流程图表示：

graph LR
    A[开始] --> B[选择调制频率和积分周期]
    B --> C[计算样本数量]
    C --> D[进行蒙特卡罗模拟]
    D --> E[计算相位误差标准差]
    E --> F[多次重复计算取均值]
    F --> G[计算标准误差]
    G --> H[输出结果]
    H --> I[结束]

4. 随机抖动引起的相位误差结果分析

通过蒙特卡罗模拟生成相应的数据，并使用两种非参数估计方法进行模拟。对于前四个调制频率（(f = 10, 30, 50, 80) MHz），在ToF相移(\varphi = \pi/6)和(\varphi = \pi/3)，RMS值对((\sigma_l, \sigma_s) = (50, 51)) ps，积分周期(T = 1) ms的情况下，得到了相位误差的概率密度函数（PDF），如图所示。同时，表10.2列出了所有14个调制频率和两个ToF相移在单个集合下，RMS值对((\sigma_l, \sigma_s) = (50, 51)) ps，积分周期(T = 1) ms时的相位误差标准差。

(f)（MHz）	(\varphi = \pi/6)（(\times 10^{-5}) rad）	(\varphi = \pi/3)（(\times 10^{-5}) rad）
10	0.56	0.59
30	0.97	0.92
50	1.22	1.29
80	1.58	1.57
100	1.72	1.72
200	2.43	2.43
300	3.18	3.09
400	3.60	3.40
500	3.97	3.73
600	4.20	4.56
700	4.58	4.47
800	5.10	5.12
900	5.39	5.34
1000	5.56	5.12

从结果中可以观察到：
- 调制频率的影响 ：相位误差的标准差随着调制频率的增加而增加。
- ToF相移的影响 ：对于相同的调制频率和单个集合，所选的两个ToF相移的相位误差没有明显变化，且没有规律。

为了估计所有21对RMS值的相位误差不确定性，进行了50次重复计算。以ToF相移(\varphi = \pi/6)为例，对于前四个调制频率（(f = 10, 30, 50, 80) MHz），RMS值与相位误差之间存在近似线性关系。当RMS值为1000 ps时，这四个调制频率的典型相位误差标准差相对较低，对距离测量的影响较小。

对于所有调制频率，绘制了典型相位误差与随机抖动RMS值的关系图。可以看到，当调制频率增加时，曲线呈现非线性形状，且每个调制频率下，相位误差随着RMS值的增加而增加。同时，分析了相位误差标准(\sigma_{\varphi_{err}} = 10^{-3})和(10^{-4}) rad与曲线的交点，发现当调制频率大于100 MHz时，在RMS值为300 ps处，典型相位误差有上升趋势。例如，对于(f = 400) MHz，在RMS值为300 ps时，0.1 mrad的相位误差急剧上升。

此外，比较四个积分周期的结果发现，对于相同的调制频率，积分周期越短，相位误差越大。当调制频率增加时，不同积分周期之间的相位误差差距逐渐减小，在频率大于600 MHz时，不同积分周期的相位误差表现出近似相似的行为。

综上所述，对于当前可用的AMCW ToF飞行范围成像相机（(f < 100) MHz），随机抖动对距离测量的影响较小。但随着调制频率的增加，随机抖动对相位误差的影响逐渐增大，需要在实际应用中加以考虑。

随机抖动对相关模型相位误差的影响分析

5. 随机抖动与调制频率、积分周期关系详细探讨

为了更清晰地展示随机抖动与调制频率、积分周期之间的关系，绘制了典型相位误差(\sigma_{\varphi_{err}})随随机抖动RMS值(\sigma_{RJ})变化，且区分不同调制频率和积分周期的图表（如图10.9）。以下是对不同频率范围的具体分析：
- 低频范围（(f < 100) MHz） ：在较长积分周期(T = 1) ms时，以(0.1) mrad相位误差标准来看，(f = 30) MHz可容忍RMS为(530) ps的随机抖动，(f = 50) MHz可容忍(410) ps，(f = 80) MHz可容忍(325) ps。而在(1) mrad相位误差标准下，低频范围在(T = 1) ms时基本无明显相位误差体现。这表明在低频且长积分周期情况下，随机抖动对距离测量影响极小。
- 高频范围（(f > 100) MHz） ：当调制频率升高，随机抖动的影响显著增强。例如(f = 800) MHz和(1000) MHz时，在(0.1) mrad相位误差标准下，仅能容忍RMS为(97) ps和(87) ps的随机抖动。并且随着频率增加，曲线的非线性特征愈发明显，相位误差随随机抖动RMS值的增长速度加快。

不同积分周期下的相位误差比较结果总结如下表：
| 调制频率 (f)（MHz） | (T = 1) ms 相位误差 | (T = 0.1) ms 相位误差 | (T = 0.01) ms 相位误差 | (T = 0.001) ms 相位误差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 10 | 低，受随机抖动影响小 | 较 (T = 1) ms 稍大 | 更大 | 最大 |
| 30 | 可容忍一定随机抖动 | 容忍度降低 | 进一步降低 | 极低容忍度 |
| 50 | 类似 (f = 30) MHz 情况 | | | |
| 80 | | | | |
| 100 | 相位误差开始随频率增加 | | | |
| 200 | 明显增大 | | | |
| 300 - 1000 | 快速增长，受随机抖动影响大 | 不同积分周期相位误差差距减小 | | |

6. 随机抖动对测量影响的综合评估

通过对不同调制频率和积分周期下随机抖动影响的分析，可以得出以下结论：
- 调制频率的主导作用 ：调制频率是影响随机抖动对相位误差影响程度的关键因素。低频时，随机抖动对距离测量的影响可以忽略不计；而高频时，即使较小的随机抖动RMS值也可能导致较大的相位误差，从而显著影响距离测量的准确性。
- 积分周期的调节作用 ：积分周期对相位误差有调节作用。较长的积分周期可以在一定程度上降低随机抖动的影响，但这种作用在高频时逐渐减弱。在实际应用中，需要根据具体的调制频率和对测量精度的要求，合理选择积分周期。

为了更直观地展示随机抖动对测量的影响，以下mermaid流程图描述了不同因素之间的关系：

graph LR
    A[随机抖动] --> B[调制频率]
    A --> C[积分周期]
    B --> D[相位误差]
    C --> D
    D --> E[距离测量准确性]

7. 实际应用中的建议

基于上述分析，在实际的AMCW ToF相机应用中，可以采取以下措施来降低随机抖动对测量的影响：
- 选择合适的调制频率 ：如果对距离测量的精度要求不高，或者随机抖动难以避免，可以选择较低的调制频率，以减少随机抖动对相位误差的影响。
- 优化积分周期 ：根据调制频率和测量环境，合理选择积分周期。在低频时，可以适当增加积分周期以提高测量的稳定性；在高频时，需要综合考虑测量速度和精度，选择合适的积分周期。
- 控制随机抖动 ：在硬件设计和系统调试过程中，采取措施降低随机抖动的RMS值，例如优化电路布局、提高时钟稳定性等。

8. 总结

本次研究深入分析了随机抖动对相关模型相位误差的影响，通过理论推导、模拟设置和结果分析，揭示了调制频率、积分周期和随机抖动之间的复杂关系。研究结果表明，调制频率是影响随机抖动对距离测量影响的关键因素，而积分周期可以在一定程度上调节这种影响。在实际应用中，需要根据具体需求选择合适的调制频率和积分周期，并采取措施控制随机抖动，以提高AMCW ToF相机的测量精度和稳定性。未来的研究可以进一步探索降低随机抖动影响的方法，以及在更复杂环境下随机抖动的特性和影响。