17、周期性抖动对飞行时间（ToF）成像相机相位误差的影响分析

周期性抖动对飞行时间（ToF）成像相机相位误差的影响分析

1. 周期性抖动对相位误差的基本影响

在分析周期性抖动（Periodic Jitter，PJ）对飞行时间（ToF）范围成像相机的影响时，我们发现所得到的模型近乎是一个倒数关系。当积分周期 (T) 变短时，四种相位误差会系统性地增加。不过，有趣的是，仅当 (T = 1) ms 时，所选取的四条轮廓线靠得非常近，以至于肉眼难以察觉数值的变化。这表明当周期性抖动超过一定量时，精度会急剧下降，无论是最坏误差还是平均误差在 (T = 1) ms 时都会出现这种情况。而且，在每种情况下，最坏相位误差和平均相位误差的表现大致相似。

另外，对于 0.1 rad 标准的最坏和平均相位误差曲线，在每个积分周期内，无论背景光量如何，它们都相似。但对于其他三种相位误差标准，当积分周期变短时，曲线会向原点移动。例如，当积分周期为 1 μs 时，对于 50 MHz 和 200 MHz 的调制频率，仅 20 ps 和 5 ps 的周期性抖动就足以产生 0.1 mrad 的相位误差；而当积分周期为 0.1 ms 时，同样的频率和相位误差标准下，周期性抖动量分别为 550 ps 和 130 ps。

由此可见，周期性抖动至少会影响未来具有更高调制频率和更短积分周期的 ToF 范围成像相机的距离测量。

2. 抖动频率是调制频率的因数时的情况

当在分析模型（9.51）中选择 (f_{PJ} = 5) MHz，即周期性抖动的幅度是调制频率的因数时，我们重复了上述分析。表 9.5 和表 9.6 分别展示了在积分周期 (T = 1) ms 和 (T = 0.01) ms 时，对于选定的 ToF 相移 (\varphi = \pi/6)，不同阶贝塞尔函数下，由于周期性抖动在任意选定频率 (f_{PJ} = 5) MHz 时对应的十五位有效数字的相位误差。

序号	(\beta = (0 : \pi))	(n = 10)	(n = 30)	(n = 50)
1	0	(-0.00000008975334)	(-0.00000008975334)	(-0.00000008975334)
2	0.3142	(-0.00000009125246)	(-0.00000009125246)	(-0.00000009125246)
3	0.6283	(-0.00000009262771)	(-0.00000009262771)	(-0.00000009262771)
4	0.9425	(-0.00000009387768)	(-0.00000009387768)	(-0.00000009387768)
5	1.2566	2.09439387908781	2.09439387908781	2.09439387908781
6	1.5708	2.09439490027607	2.09439490027607	2.09439490027607
7	1.8850	2.09439496371611	2.09439496371612	2.09439496371612
8	2.1991	2.09439495640765	2.09439495640771	2.09439495640771
9	2.5133	2.09439483990624	2.09439483990669	2.09439483990669
10	2.8274	2.09439355807616	2.09439355808376	2.09439355808376
11	3.1416	2.09439527688131	2.09439527690973	2.09439527690973

表 9.5：计算的最大相位误差（最坏情况），(T = 1) ms，(f_{APJ} = 0.5)，(\varphi = \pi/6)，(f_{PJ} = 5) MHz，(\beta = (0 : \pi/10 : \pi))，(A = B = 1)

序号	(\beta = (0 : \pi))	(n = 10)	(n = 30)	(n = 50)
1	0	0.00000231774490	0.00000231774490	0.00000231774490
2	0.3142	0.00000308184222	0.00000308184222	0.00000308184222
3	0.6283	0.00000382961341	0.00000382961341	0.00000382961341
4	0.9425	0.00000811709330	0.00000811709330	0.00000811709330
5	1.2566	2.09443712418130	2.09443712418130	2.09443712418130
6	1.5708	2.09440218267109	2.09440218267108	2.09440218267108
7	1.8850	2.09439992179043	2.09439992179039	2.09439992179039
8	2.1991	2.09439987621373	2.09439987621338	2.09439987621338
9	2.5133	2.09440245850361	2.09440245849943	2.09440245849943
10	2.8274	2.09399742708254	2.09399742752765	2.09399742752765
11	3.1416	2.09433849787919	2.09433849957900	2.09433849957900

表 9.6：计算的最大相位误差（最坏情况），(T = 0.01) ms，(f_{APJ} = 0.5)，(\varphi = \pi/6)，(f_{PJ} = 5) MHz，(\beta = (0 : \pi/10 : \pi))，(A = B = 1)

从表中可以看出，即使 (n = 30) 也足以获得十五位有效数字，但为了保险起见，我们选择贝塞尔函数的阶数为 40，这样在（9.51）中就会求和 6561 项。

当考虑 (f_{PJ} = 5) MHz 时，对于 30 MHz 和 100 MHz 的频率，相位误差的情况如图 9.17 和 9.18 所示。同样，在模型中不考虑背景部分（即 (B = 0)）时，对于相同频率的结果如图 9.19 和 9.20 所示。

通过比较 100 MHz 信号在 (f_{PJ} = 4.9261) MHz 和 (f_{PJ} = 5) MHz 时的完整模型结果，当 (T = 1) ms，(f_{PJ} = 5) MHz 时的相位误差极小（小于微弧度），对深度测量的影响可以忽略不计。

我们还发现，相位误差会随着 (T) 的减小而增加，也就是相机的帧率增加时相位误差会增大。而且，对于固定的 (T) 和 (\beta)，随着 ToF 相移的增加，相位误差会减小。例如，当 (\beta = 0.1005) 和 (T = 0.01) ms 时，当 (\varphi = \pi/6)，(\pi/2) 和 (5\pi/6) 时，相位误差分别为 (\varphi_{err} = 9.71)，28.72 和 46.55 微弧度。

3. 不同积分周期下的相位误差轮廓图分析

图 9.21 - 9.25 展示了在 (f_{PJ} = 5) MHz 时，对于 ToF 相移 (\varphi = \pi/6)，有和没有背景部分的分析模型中，相位误差相对于调制频率 (f) 和周期性抖动幅度 (A_{PJ}) 的轮廓图，积分周期分别为 (T = 1)，0.1 和 0.01 ms。

当积分周期变长时，大的相位误差有系统性消失的趋势，例如相位误差 (\varphi_{err} = 0.1) rad 的情况。有趣的是，与周期性抖动频率不是调制频率的因数时不同，在这种情况下，每个子图无论积分周期如何都给出相似的结果，并且结果不依赖于背景光照。此外，通过比较每个对应的左右子图，可以发现最坏和平均相位误差曲线相似。

graph LR
    A[开始] --> B[选择积分周期 T]
    B --> C[确定 fPJ 和 APJ]
    C --> D[计算相位误差]
    D --> E[绘制轮廓图]
    E --> F[分析结果]
    F --> G[结束]

这个流程图展示了分析相位误差的基本步骤，从选择积分周期开始，确定抖动频率和幅度，计算相位误差，绘制轮廓图，最后进行结果分析。

综上所述，周期性抖动对 ToF 成像相机的相位误差有着显著影响，尤其是在高调制频率和短积分周期的情况下。在抖动频率是调制频率的因数时，相位误差表现出一些特殊的规律，这些规律对于相机的设计和性能优化具有重要意义。

4. 数值方法与解析方法的比较

为了简化分析，我们在数值和解析方法中都考虑调制光信号的背景为零（即 (B = 0)）。图 9.26 和 9.27 分别比较了在周期性抖动频率是调制频率的因数和非因数时，通过上述两种方法得到的最大（最坏）相位误差，针对不同的调制频率 (f) 和周期性抖动幅度 (A_{PJ})。每个图中考虑了四个相位误差标准 (\varphi_{err}) 和前三个积分周期，具体参数参考表 9.2。

当 (f_{PJ} = 4.9261) MHz 时，使用梯形积分法的 220000 个区间和龙贝格积分法的 219 个面板，不足以识别在较高积分周期 (T = 1) ms 时所选的最低相位误差标准 0.1 mrad，如图 9.26a 和 b 的左子图所示。除此之外，两种数值方法与解析方法给出的结果相似。但当 (T = 0.01) ms 时，解析方法中的最低相位误差曲线与两种数值方法的相应结果不匹配，我们认为这可能是由于（9.51）中贝塞尔函数的阶数 (m) 和 (n) 不足所致，见图 9.26 的右子图。

然而，当周期性抖动频率是调制频率的因数，即 (f_{PJ} = 5) MHz 时，两种方法的结果相同，如图 9.27 所示。对于每个积分周期 (T)，（9.28）中相同数量的区间 (Q = 3000) 和（9.32）中相同数量的面板 (2^{M - 1} = 2^{17} = 131072) 就足够了，而在 (f_{PJ} = 4.9261) MHz 时，梯形积分法中的区间数不同且相对较大。对于龙贝格积分法，当 (f_{PJ} = 5) MHz 时，所需的面板数是 (f_{PJ} = 4.9261) MHz 时的四分之一（即 (2^{17}:2^{19})）就足够了。在每种情况下，两种数值方法对于不同的 (T) 以及所有四个相位误差 (\varphi_{err}) 都给出了相似的结果，但在 (f_{PJ} = 4.9261) MHz 时，(T = 0.1) ms 的结果与其他两个周期不同，见图 9.26 中间部分。

(f_{PJ}) (MHz)	方法及参数	(T) (ms)	(B = 0)	(B = 1)	(B = 10)	(B = 50)	(B = 100)
4.9261	解析模型（9.51），(-40 \leq {m, n} \leq 40)，6561×2 项	1.0	818.89	856.22	835.85	866.16	832.57
		0.1	829.81	848.83	905.20	847.97	834.66
		0.01	839.53	829.98	849.30	818.84	840.03
		0.001	843.33	840.49	865.89	844.13	824.09
	梯形模型（9.28），区间 (Q)：220000（1.0 ms），220000（0.1 ms），21000（0.01 ms）	1.0	271.38
		0.1	369.08
		0.01	84.59
	龙贝格模型（9.32），面板 (2^{M - 1}=2^{19}=524288)	1.0	2320.67
		0.1	2293.18
		0.01	2279.27
5	解析模型（9.51），(-40 \leq {m, n} \leq 40)，6561×2 项	1.0	858.47	833.37	904.20	843.80	838.89
		0.1	834.29	832.91	935.69	862.27	838.24
		0.01	873.11	825.65	854.28	842.55	849.87
		0.001	830.08	852.43	952.58	827.99	846.92
	梯形模型（9.28），区间 (Q = 3000)	1.0	110.18
		0.1	108.28
		0.01	97.57
	龙贝格模型（9.32），面板 (2^{M - 1}=2^{17}=131072)	1.0	432.48
		0.1	418.59
		0.01	401.36

表：不同方法和参数下的模拟执行时间（单位：分钟）

5. 模拟执行时间分析

表 9.7 和表 9.8 分别展示了每种模拟设置下，最坏（最大）和平均相位误差计算的近似执行时间，这些时间都四舍五入到小数点后两位。

从表中可以看出，不同的方法、参数以及周期性抖动频率 (f_{PJ}) 和积分周期 (T) 的组合，会导致执行时间有很大差异。例如，在 (f_{PJ} = 4.9261) MHz 时，解析模型在不同积分周期下的执行时间相对较为稳定，但梯形模型和龙贝格模型的执行时间在不同积分周期下变化较大。而当 (f_{PJ} = 5) MHz 时，各方法和参数组合的执行时间也有其自身的特点。

graph LR
    A[确定模拟类型（最坏或平均相位误差）] --> B[选择方法和参数]
    B --> C{ \(f_{PJ}\) 值 }
    C -- \(f_{PJ}=4.9261\) MHz --> D[根据 \(T\) 确定执行时间]
    C -- \(f_{PJ}=5\) MHz --> E[根据 \(T\) 确定执行时间]
    D --> F[记录执行时间]
    E --> F
    F --> G[结束]

这个流程图展示了确定模拟执行时间的步骤，先确定模拟类型，选择方法和参数，根据 (f_{PJ}) 的值和积分周期 (T) 确定执行时间，最后记录执行时间。

总结

周期性抖动对 ToF 成像相机的相位误差影响显著，尤其是在高调制频率和短积分周期的情况下。抖动频率与调制频率的关系会影响相位误差的表现，当抖动频率是调制频率的因数时，相位误差呈现出一些特殊规律，且数值方法和解析方法的结果更为一致。不同的数值积分方法在不同情况下所需的计算资源不同，执行时间也有较大差异。这些结果对于 ToF 成像相机的设计、性能优化以及误差控制具有重要的指导意义。在实际应用中，需要根据具体的需求和条件，选择合适的参数和方法，以减小周期性抖动对相位误差的影响，提高相机的性能。