63、弱化的Alpha图：准布尔代数

弱化的Alpha图：准布尔代数

1 引言

Charles Peirce在1896年提出了存在图（Existential Graphs，egs）理论的Alpha部分，它是一种对应于经典命题逻辑的图示语法和图形系统。Peirce的工作始于对布尔代数的改进，他在1867年改进了布尔代数的否定和析取运算，使其成为现代布尔代数的运算。1880年，他提出了布尔代数历史上第一个健全且完备的系统，1885年的论文则为符号哲学做出了贡献。到1896年，他发明了存在图方法，旨在将必要的数学推理分解为基本逻辑步骤，并通过图形系统的特殊推理规则分析这些步骤及其组合。

Peirce意识到代数思维方式对逻辑研究进展的指导作用。他在回复学生Christine Ladd - Franklin的信中提到，逻辑图为逻辑代数提供了全新的基本假设系统。实际上，不仅可以为Alpha图理论提供代数规则和语义，还能基于该理论的代数动机开发其他图形逻辑。

本文展示了如何将Alpha图从经典二值命题逻辑弱化，得到一种四值逻辑，其对应的代数之一是准布尔或德摩根代数。Peirce的存在图理论不仅是逻辑语法和语义理论，也是许多逻辑的证明理论。图形的变换规则集定义了图形逻辑的证明系统，这种二维图示语法使推理关系的概念与传统逻辑有所不同。

2 准布尔代数的逻辑

2.1 准布尔代数的定义

• 有界分配格 ：一个有界分配格是一个代数(A = (A, ∧, ∨, 0, 1))，满足以下条件（对于所有(a, b, c ∈A)）：
  • 格定律 ：