2、模糊集代数知识解析

模糊集代数知识解析

1. 模糊集概念基础

在处理模糊概念时，我们需要明确一些基本概念。例如，对于收入情况，$H(50) = 30/55$ 并不意味着收入 50000 美元的概率高。它只是表示在被调查人群中，将此收入归为高收入的比例为 30/55，这代表了该收入被认为是高收入的程度，并非拥有高收入的概率。

模糊集操作与普通集合操作有相似之处。一个集合 $U$ 的子集 $A$ 可以用函数 $\chi_A : U \to {0, 1}$ 表示，而模糊子集则定义为函数 $A : U \to [0, 1]$。在集合 $U$ 的所有子集构成的集合 $P(U)$ 上，有并、交和补等常见操作，规则如下：
- 并集：$A \cup B = {x : x \in A \text{ 或 } x \in B}$
- 交集：$A \cap B = {x : x \in A \text{ 且 } x \in B}$
- 补集：$A’ = {x \in U : x \notin A}$

用指示函数表示为：
- $\chi_{A\cup B}(x) = \max {\chi_A(x), \chi_B(x)} = \chi_A(x) \vee \chi_B(x)$
- $\chi_{A\cap B}(x) = \min {\chi_A(x), \chi_B(x)} = \chi_A(x) \wedge \chi_B(x)$
- $\chi_{A’}(x) = 1 - \chi_A(x)$

将这些操作扩展到模糊子集时，通过隶属函数定义：
- $(A \vee B)(x) = \max {A(x), B(x)} = A(x) \