55、利用GNCCP近似图编辑距离及对应广义中位数计算方法

利用GNCCP近似图编辑距离及对应广义中位数计算方法

1. 图编辑距离的二次规划表示

在处理图编辑距离（GED）时，为了同时处理有向图和无向图，引入矩阵 $\Delta$ 。对于无向图 $G_1$ 和 $G_2$ ，$\Delta = D$ ；否则，$\Delta = D + D^T$ 。由此得到二次函数 $S(x) = \frac{1}{2}x^T \Delta x + c^T x$ ，将线性部分并入二次部分后，$S(x) = x^T \tilde{\Delta}x$ ，其中 $\tilde{\Delta} = \frac{1}{2}\Delta + diag(c)$ 。计算两个图的GED就转化为在 $x$ 是置换矩阵的约束下，最小化该二次函数，这对应于二次分配问题（QAP）：$GED(G_1, G_2) = \min_{x\in\Pi} x^T \tilde{\Delta}x$ 。

2. QAP的求解策略

• 问题的复杂性 ：精确计算GED对于大多数应用来说是难以处理的，因为求解QAP是NP完全问题。大多数算法通过将原始问题放宽到双随机矩阵集合来寻找近似解。
• IPFP方法 ：整数投影定点（IPFP）方法最初用于解决图匹配问题，将其形式化为QAP的最大化问题。在GED计算中，对其进行了调整，考虑的是最小化而非最大化，并使用矩阵 $\hat{\Delta}$ 。算法主要迭代两个步骤：
  • 计算一个梯度方向，在离散域中最大化QAP的线性近似。
  • 在连续域中，在前一个解和步骤（i）中找到的解之间最大化QAP。