14、基于进化加权均值的广义中位数计算框架及其在字符串处理中的应用

基于进化加权均值的广义中位数计算框架及其在字符串处理中的应用

1. 引言

中位数概念在估计一组对象的单一代表方面应用广泛。其动机不仅在于消除错误对象，还源于监督分类器组合的结果，即对多个分类器的结果进行平均可以实现更可靠的分类。

早期，费马在17世纪提出了向量空间中的欧几里得中位数问题，即费马 - 韦伯问题。近年来，中位数问题也被推广到更一般的空间和对象，如字符串、图、聚类和分割等。然而，在大多数情况下，广义中位数的计算非常困难，部分问题甚至具有NP完全性，这促使人们设计近似方法。

目前，用于广义中位数近似的通用框架研究较少。嵌入方法是将对象嵌入到向量空间，应用Weiszfeld算法找到中位数点，再通过对象对的加权均值进行逆变换。但这种方法在向量空间和对象域之间的转换并不简单，且可能导致不必要的失真。

本文提出了一种新的广义中位数近似框架，它适用于一般空间中的对象，可应用于不同领域，如字符串、图和聚类等。该框架的灵感来源于广义中位数的下界，当达到紧密下界时，可通过计算对象对的加权均值得到广义中位数。

2. 基础知识

• 广义中位数的定义 ：设 $X = {x_1, \ldots, x_n}$ 是一般空间 $U$ 中的一组对象，$d : U × U → R^+ 0$ 是定义在 $U$ 上的距离函数。广义中位数 $\hat{x}$ 定义为：
  $\hat{x} = \arg \min {x \in U} \sum_{i = 1}^{n} d(x, x_i) = \arg \min_{x \in U} SOD(x)$
  其中，$\sum_