19、通用标签与中位数图之间的关系

通用标签与中位数图之间的关系

1. 引言

在许多模式识别应用中，我们会得到同一对象的一组不同表示，目标是将这些表示总结为一个单一的表示。这个结果表示应捕捉对象的重要特征，同时摒弃噪声或意外的变化。当使用属性图进行表示时，这个图被称为广义中位数图，简称中位数图。给定一组训练图，中位数图被正式定义为一个图，它使到集合中所有其他图的成本总和最小。

如果假设顶点没有唯一标签，那么找到中位数图的问题在一般形式下，至少和在特定成本函数（如NP难问题的图编辑距离）下匹配两个图的问题一样困难。实际上，中位数图无法以封闭形式计算，因为它的合成依赖于它与给定图之间的匹配，而与中位数图的匹配显然需要先有中位数图。处理这个“鸡生蛋还是蛋生鸡”问题的常用方法是采用增量方法，即先粗略构建中位数图，然后迭代细化，直到考虑完训练集中的所有图。

另一种计算中位数图的方法是将匹配和合成过程分离。这种方法基于这样的假设：给定计算中位数图的顶点标签，在大多数应用中，它的计算可以在多项式时间内高效完成，例如对顶点和边的属性进行平均。这个方法可以总结为两个步骤：
1. 获得给定图之间的通用标签。通用标签的目标是在一些传递性限制下，最小化一组图之间的成对标签。
2. 一旦知道了这个信息，就可以轻松计算近似中位数图。

使用通用标签方法近似中位数图的主要优点是，中位数图直到过程结束才需要计算。这样，就不需要将初始图标签到中位数图，最初的“鸡生蛋还是蛋生鸡”问题也就消失了。虽然有实验表明使用通用标签计算中位数图能得到满意的结果，但到目前为止，通用标签问题和中位数图合成之间的正式关系一直缺失。在本文中，如果图匹配的成本是一个度量，我们将证明这两个问题紧密相关，因为可以使用通用标签值来界定中位数