55、基于GNCCP近似图编辑距离及对应广义中位数计算

基于GNCCP近似图编辑距离及对应广义中位数计算

图编辑距离的二次分配问题建模

在处理图编辑距离（GED）的计算时，为了同时应对有向图和无向图，我们引入了矩阵 $\Delta$。已知 $x^T Dx = \frac{1}{2}x^T (D + D^T)x$ ，定义 $S(x) = \frac{1}{2}x^T \Delta x + c^T x$ ，其中：
[
\Delta =
\begin{cases}
D & \text{如果 } G_1 \text{ 和 } G_2 \text{ 是无向图} \
D + D^T & \text{否则}
\end{cases}
]
若 $G_1$ 和 $G_2$ 均为无向图，$D$ 是对称的，所以 $\Delta$ 在两种情况下都是对称的。将线性部分并入二次部分后得到 $S(x) = x^T \tilde{\Delta}x$ ，其中 $\tilde{\Delta} = \frac{1}{2}\Delta + \text{diag}(c)$ 。

计算两个图的GED就转化为在 $x$ 是置换矩阵的约束下，最小化上述二次函数，这一问题对应二次分配问题（QAP）：
[
\text{GED}(G_1, G_2) = \min_{x\in\Pi} x^T \tilde{\Delta}x
]

此前已有关于GED的二次形式的研究，如将二元二次规划转化为二元线性规划，但仅限于无向且无标签边；还有另一个二次规划，其优化仅关注节点替换。

QAP的求解方法

精确计算GED对于大多数应用来说是难以处理的