欧几里得算法及其扩展形式

【欧几里得算法】

欧几里得算法(Euclid’s algorithm)，又称辗转相除法。由欧几里得在大约两千多年前提出，该算法能够快速求得正整数a,b的最大公约数gcd(a,b)。
本文仅讨论非负数情况下的问题。

【算法描述】

我们一般以递归形式实现欧几里得算法：

int gcd(intx,int y){
    if (!y) return x;
    return gcd(y,x%y);
}

【证明】

显然，gcd(a,0)=a。那么证明上述算法的正确性就是要证gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
在开始之前，先证明一个推论：
若c|a,c|b则c|(ax+by) 其中x,y为满足ax+by>0的任意整数。
设a=c*a0,b=c*b0则：
ax+by=c*a0*x+c*b0*y=c(a0*x+b0*y)
所以c|(ax+by)
现在开始证明gcd(a,b)=gcd(b,a%b)：
只要证gcd(a,b)|gcd(b,a%b)且gcd(b,a%b)|gcd(a,b)就可得出结论。
先证gcd(a,b)|gcd(b,a%b)：
设d=gcd(a,b)，则d|a且d|b，又因为a%b=a-qb，所以d|(a%b)（根据推论）又因为d|b所以d|gcd(b,a%b)即gcd(a,b)|gcd(b,a%b)（公约数是最大公约数的约数）
再来证gcd(b,a%b)|gcd(a,b)：
证明方法与上面类似，设d=gcd(b,a%b)，则d|b，d|(a%b)。又因为a=a%b+qb，所以d|a（根据推论）又因为d|b，所以d|gcd(a,b)，即gcd(b,a%b)|gcd(a,b)
至此，欧几里德算法得证。
最坏情况下，欧几里得算法的时间复杂度为O(loga)，因为每次有a%b的操作，可以近似看做a/2（最坏情况）。

【扩展欧几里得】

欧几里得算法的扩展形式用于求解形如”ax+by=gcd(a,b)”的方程。
根据朴素的欧几里得原理，gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，可以先递归处理等式右边为gcd(b,a%b)的方程，就有：

其中x,y是当前方程的未知数，x0,y0是递归返回的另一方程的一组解。那么x,y可以由x0,y0求得（下面的除法均为整除）：

根据恒等式定理（对应项相等），x=y0，y=x0-a/b*y0
那么就可以求x,y的值了。
另外，递归过程何时终止？类似地，当b=0时，有x=1,y=0,gcd(a,b)=a代码如下：

int exgcd(int a,int b,int&x,int&y){
    if (b==0) {x=1,y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,x,y),x0=x;
    x=y;y=x0-a/b*y;
    return d;
}

值得注意的是，上述方法求得的只是方程的某一组解，不过已知一组解就可以求出所有整数解：
设已知的一组解为x0,y0，则该方程的所有整数解x,y满足：

其中t为任意整数。把新的x,y代入方程中就会得到，即x,y变化前后等式均成立。其实，对于任意整数Tx,Ty，只要满足a*Tx=b*Ty就可以用Tx,Ty代替上式中的b/(a,b)和a/(a,b)。但是为什么不取别的值？是因为b/(a,b)和a/(a,b)是满足a*Tx=b*Ty的最小整数，因为观察等式可以发现，等式两边其实就是a与b的公倍数，而此时等式可变为ab/(a,b)=ab/(a,b)即a,b的最小公倍数。所以Tx取b/(a,b)，Ty取a/(a,b)是最合适的取值（只有这样才不会漏掉任意一组解）

【扩展欧几里得的应用】

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

1. 求解不定方程；
2. 求解模线性方程（线性同余方程）；
3. 求解模的逆元；

先来看下求解不定方程：
问题：求解关于整数x,y的形如ax+by=c的方程。
首先来判断方程是否无解，当且仅当(a,b)|c时，原方程才有解。
证明：因为(a,b)|a，(a,b)|b所以(a,b)|(ax+by)。当且仅当原方程成立，才有ax+by=c，即(a,b)|c。
我们设a1=a/(a,b)，b1=b/(a,b)，c1=c/(a,b)。若解出方程ax1+by1=(a,b)则有x=x1∗c1，y=y1∗c1。而方程ax1+by1=(a,b)可以通过扩展欧几里得算法求解。
当然，用此方法求得的x,y只是原方程的一组解，设已知解为x0,y0，则原方程的所有解x,y满足：

其中t为任意整数。至于t的系数b1,b2，可参见上文。

求解线性模方程：
问题：求解关于整数x的形如”ax≡b (mod n)”的同余方程。
解决这个问题十分简单，因为原方程可化为ax-ny=b，用求解不定方程的方法即可。

求逆元：
详见【浅谈逆元】