32、海洋机器人中传感器的最优放置策略

海洋机器人中传感器的最优放置策略

1. 三维场景下的目标函数推导

在海洋机器人的传感器放置问题中，经过一些简单计算，可得到如下表达式：
[
J_{3D} \cdot \sigma_r^2 = \sum_{i,j,k = 1, i \leq j \leq k}^{n} [(\mathbf{v} i \times \mathbf{v}_j) \cdot \mathbf{v}_k]^2
]
由于三个指标 (i)、(j)、(k) 有六种排列顺序，如表 1 所示，所以结果可改写为：
[
J {3D} = \frac{1}{6 \cdot \sigma_r^2} \sum_{i,j,k = 1}^{n} [(\mathbf{v}_i \times \mathbf{v}_j) \cdot \mathbf{v}_k]^2
]
| 排列顺序 | 具体形式 |
| ---- | ---- |
| 1 | (i \leq j \leq k) |
| 2 | (j \leq i \leq k) |
| 3 | (j \leq k \leq i) |
| 4 | (k \leq j \leq i) |
| 5 | (k \leq i \leq j) |
| 6 | (i \leq k \leq j) |

又因为两个向量的叉积和点积可分别表示为它们的模与夹角的正弦和余弦的乘积，最终可得到：
[
J_{3D} = \frac{1}{6 \cdot \sigma_r^2} \sum_{i,j,k = 1}^{n} |\mathbf{v} i|^2 |\mathbf{v}_j|^2 |\mathbf{v}_k|^2 \sin^2 \alpha {i,j} \cos^2 \beta_{ij,k}
]
其中，(\alpha_{i,j} = \angle(\mathbf{v} i, \mathbf{v}_j))，(\beta {ij,k} = \angle(\mathbf{v}_i \times \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_k))。

2. 参考物体（ROs）的最优角度配置

2.1 讨论场景

假设目标位于凸目标区域内，ROs 放置在目标区域的圆周上。对于二维情况（(m = 2)），位置 ((\mathbf{p}_1, \ldots, \mathbf{p}_n)) 可转换为以目标位置 (\mathbf{p}_0) 为中心的极坐标系。此时，每个 RO 的位置可由距离 (r_i) 和角度 (\eta_i) 描述。由于 ROs 位于凸任务区域的圆周上，距离 (r_i) 不能任意选择，所以唯一可任意选择的参数是角度 (\eta_i)。问题是，对于哪组角度 ((\eta_1, \ldots, \eta_n))，费舍尔信息矩阵（FIM）的行列式能达到最大值。

从直观上看，将参考物体均匀分布在机器人周围是合理的。经过数学推导，对于 (n) 个传感器，角度坐标 (\eta_i) 的如下选择可使 FIM 的行列式达到最大值：
[
\eta_i = (i - 1) \frac{\pi}{n} + k_i \pi + \eta_0, \quad i \in {1, \ldots, n}, \quad k_i \in \mathbb{Z}
]
其中，(\eta_0) 是添加到所有 RO 角度坐标上的常量角度。当 (k_i = 0) 且 (\eta_0 = 0) 时，三个 RO 的最优角度配置为 (0)、(\frac{\pi}{3}) 和 (\frac{2\pi}{3})。

2.2 结果的数学推导

为证明上述角度配置的最优性，从方程 (J_{2D}) 开始。首先计算向量 (\mathbf{v}_i)：
[
\mathbf{v}_i =
\begin{bmatrix}
\partial_1 r_i \
\partial_2 r_i \
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{x_i}{r_i} \
\frac{y_i}{r_i} \
0
\end{bmatrix}
]
将笛卡尔坐标转换为极坐标，(x_i = r_i \cos \delta_i)，(y_i = r_i \sin \delta_i)，则：
[
\mathbf{v}_i =
\begin{bmatrix}
\cos \delta_i \
\sin \delta_i \
0
\end{bmatrix}
]
其模为 (|\mathbf{v}_i| = \sqrt{(\cos \delta_i)^2 + (\sin \delta_i)^2} = 1)。

两向量 (\mathbf{v} i) 和 (\mathbf{v}_j) 的夹角 (\alpha {i,j}) 为：
[
\alpha_{i,j} = \arccos \frac{\mathbf{v} i \cdot \mathbf{v}_j}{|\mathbf{v}_i| |\mathbf{v}_j|} = \delta_i - \delta_j
]
将其代入 (J {2D}) 可得：
[
J_{2D} = \frac{1}{2 \sigma_r^2} \sum_{i,j = 1}^{n} \sin^2 (\delta_i - \delta_j)
]

要证明上述角度配置是 (J_{2D}) 的临界点，需满足：
[
\frac{\partial}{\partial \eta_k} J_{2D} = 0, \quad \forall k \in {1, \ldots, n}
]
经过一系列三角函数运算和向量运算，可得到：
[
\sum_{i = 1}^{n} \cos 2 \eta_i = 0 \quad \text{且} \quad \sum_{i = 1}^{n} \sin 2 \eta_i = 0
]
利用欧拉公式 (e^{j x} = \cos x + j \sin x)，可证明当 (\eta_i) 按照上述公式选择时，能满足上述两个条件。

3. 距离传感器最优范围的确定

3.1 总体设置

假设一个静止目标位于 (\mathbf{p}_0)，(n) 个能够进行距离测量的 ROs 需放置在其周围，以实现目标位置估计的最优设置。我们将区分二维和三维场景。

在二维场景中，目标位于笛卡尔坐标系的原点，ROs 的坐标可表示为 ((x_i, y_i)) 或极坐标 ((r_i, \delta_i))。在三维场景中，目标位于已知深度 (z_0) 处，ROs 的位置可由笛卡尔坐标 ((x_i, y_i, z_i)) 或极坐标和深度 ((d_i, \delta_i, z_i)) 描述，其中 (d_i = \sqrt{r_i^2 - z_0^2})，且 ROs 的深度 (z_i) 始终为 (0)。

问题是，假设将 ROs 放置在以坐标系原点为圆心、半径为 (r)（二维）或 (d)（三维）的圆周上，采用如上述所述的最优角度分布，那么共同的半径 (r) 或 (d) 为多少时，能使 FIM 的行列式达到最大值，从而实现传感器的最优放置。

3.2 最优范围的计算

• 二维情况 ：根据 (J_{2D}) 的表达式可知，二维情况下 FIM 的行列式不依赖于目标与 ROs 之间的距离，仅角度配置对传感器的最优放置有影响。
• 三维情况 ：对于三维场景，使用 (J_{3D}) 的表达式。首先计算向量 (\mathbf{v} i)：
  [
  \mathbf{v}_i =
  \begin{bmatrix}
  \frac{x_i}{r_i} \
  \frac{y_i}{r_i} \
  \frac{z_0}{r_i}
  \end{bmatrix}
  ]
  其模为 (|\mathbf{v}_i| = 1)，则 (J {3D}) 简化为：
  [
  J_{3D} = \frac{1}{6 \cdot \sigma_r^2} \sum_{i,j,k = 1}^{n} \sin^2 \alpha_{i,j} \cos^2 \beta_{ij,k}
  ]
  经过一系列计算，得到 (\sin^2 \alpha_{i,j}) 和 (\cos^2 \beta_{ij,k}) 的表达式，最终 (J_{3D}) 可表示为：
  [
  J_{3D} = \frac{d^4}{(d^2 + z_0^2)^3} c
  ]
  其中 (c) 是不依赖于 (d) 的常量。

为找到使 (J_{3D}) 最大的最优 (d_{opt})，对 (J_{3D}) 关于 (d) 求导并令其为 (0)：
[
\frac{\partial}{\partial d} J_{3D} = 0
]
经过求解可得 (d_{opt} = \sqrt{2} z_0)。这意味着对于目标位于 ((0, 0, -z_0))，(n) 个 ROs 放置在以原点为圆心、半径为 (d) 的圆周上的情况，FIM 的行列式作为 (d) 的函数，在 (0)、(\sqrt{2} z_0) 和 (-\sqrt{2} z_0) 处有临界点，且最大值在 (d_{opt} = \sqrt{2} z_0) 处取得。

下面是确定最优范围的流程：

graph TD
    A[确定场景类型] --> B{二维或三维}
    B -- 二维 --> C[根据 J2D 确定与距离无关]
    B -- 三维 --> D[计算向量 vi]
    D --> E[计算模和简化 J3D]
    E --> F[计算 sin²αi,j 和 cos²βij,k]
    F --> G[得到 J3D 关于 d 的表达式]
    G --> H[对 J3D 求导并令为 0]
    H --> I[求解得到 dopt]

综上所述，通过上述理论推导和计算，我们得到了海洋机器人中传感器的最优角度配置和最优范围，为实际应用中的传感器放置提供了理论依据。在后续的研究中，还可以通过数值模拟进一步验证这些结果的有效性。

海洋机器人中传感器的最优放置策略

4. 数值验证

4.1 模拟设置

为了验证前面计算得到的结果，我们进行了数值蒙特卡罗模拟。假设一个水下目标位于局部坐标系原点下方 (z_0 = 10m) 处，三个 ROs 放置在水面上，其深度 (z_i = 0)。ROs 的位置选择在以坐标系原点为圆心、半径为 (d) 的圆周上，并且它们的角度分布根据前面提到的最优配置确定，即：
[
\mathbf{p}_i = [d \quad \delta_i \quad 0], \quad \text{其中} \quad \delta_i = \frac{2\pi (i - 1)}{3}, \quad i \in {1, 2, 3}
]
ROs 可以测量它们与目标的距离，测量值叠加了方差为 (\sigma^2 = 0.1m^2) 的加性高斯白噪声（AWGN）。

我们进行了多次模拟运行。在每次运行中，首先将 ROs 放置在半径为 (r^{(1)}) 或 (d^{(1)}) 的圆上，模拟一定数量的测量值，并为每个测量值计算目标位置估计。然后将 ROs 放置在半径更大的圆上，重复上述过程，直到达到预先定义的最大范围 (r^{(max)}) 或 (d^{(max)})。

模拟的步骤如下：
1. 设定目标位置和 ROs 的初始半径。
2. 模拟 ROs 对目标的距离测量，并添加 AWGN。
3. 使用最大似然估计（ML - R）方法计算目标位置估计。
4. 改变 ROs 的半径，重复步骤 2 和 3。

4.2 模拟结果

我们分别对二维和三维情况进行了五次模拟运行。
- 二维情况 ：每次运行包含 12 次单独模拟，ROs 与原点的公共距离从 (r^{(1)} = 5m) 增加到 (r^{(12)} = 500m)。在每次模拟中，基于每个 RO 的 10,000 次模拟距离测量执行 10,000 次估计。
- 三维情况 ：ROs 的半径在 (d^{(1)} = 5m) 到 (d^{(16)} = 20m) 之间，每次增加 1m。同样，在每次模拟中执行 10,000 次估计。

在每次估计中，使用 ML - R 算法，初始条件 (\hat{\mathbf{p}} 0^{(0)}) 如下：
[
\hat{\mathbf{p}}_0^{(0)} =
\begin{cases}
\begin{bmatrix}
\frac{x_1 + x_2}{2} & \frac{y_1 + y_2}{2}
\end{bmatrix}^T, & \text{二维情况} \
\begin{bmatrix}
\frac{x_1 + x_2}{2} & \frac{y_1 + y_2}{2} & -z_0 & 0
\end{bmatrix}^T, & \text{三维情况}
\end{cases}
]
对于 Armijo 规则，使用参数 (\varepsilon = 10^{-5})，(\beta = 0.5)，(\rho = 0.1)，最大迭代次数 (i {max} = 50)。

场景	模拟次数	半径范围	每次模拟估计次数
二维	12 次	5m - 500m	10,000 次
三维	16 次	5m - 20m	10,000 次

对于二维场景，结果表明 ROs 的公共距离 (r) 对估计质量没有影响。图 6 - 6 显示了所有五次运行中，每组 10,000 次估计的估计误差的均值和方差，验证了均值和方差与 (r) 无关。不过，在小距离时测量系列中出现了小于 1% 的增加，这可能是由计算中的小数值误差引起的。需要注意的是，实际应用中随着距离增加，距离测量的 AWGN 方差可能会上升，但在本次模拟中未考虑这一因素。

对于三维场景，计算结果表明 ROs 的最优距离 (d) 为目标深度的 (\sqrt{2}) 倍。当目标深度为 (10m) 时，(d = 14.14m) 应产生最佳估计结果。模拟结果验证了这一结论，具体结果可通过绘制 FIM 行列式与 (d) 的关系图（图 6 - 4）直观展示。

下面是模拟验证的流程图：

graph TD
    A[开始模拟] --> B{二维或三维}
    B -- 二维 --> C[设置半径范围 5m - 500m]
    B -- 三维 --> D[设置半径范围 5m - 20m]
    C --> E[进行 12 次模拟]
    D --> F[进行 16 次模拟]
    E --> G[每次模拟 10,000 次估计]
    F --> G
    G --> H[计算估计误差的均值和方差]
    H --> I[分析结果验证理论]

5. 总结

通过理论推导和数值模拟，我们深入研究了海洋机器人中传感器的最优放置问题。在角度配置方面，确定了使费舍尔信息矩阵（FIM）行列式达到最大值的角度坐标公式，为传感器的角度分布提供了明确的指导。在范围选择上，二维情况下 FIM 行列式与目标和 ROs 之间的距离无关，而三维情况下找到了使 FIM 行列式最大的最优半径 (d_{opt} = \sqrt{2} z_0)。

数值模拟结果与理论推导高度一致，验证了理论结果的有效性。这不仅为海洋机器人传感器的实际放置提供了科学依据，还为进一步优化海洋机器人的定位和导航性能奠定了基础。未来的研究可以考虑更复杂的场景，如目标移动、存在障碍物等，以及结合实际海洋环境中的噪声特性，进一步完善传感器的最优放置策略。同时，可以探索如何将这些理论和方法应用到更多类型的海洋机器人和实际项目中，提高海洋机器人在复杂海洋环境中的工作效率和可靠性。