马尔可夫链极限分布与PageRank算法分析

1、(c) 马尔可夫链 (Xₙ)ₙ≥₀ 是否存在与初始状态无关的极限分布？

不存在。对于状态空间为 (a, b, c, d, e) 的马尔可夫链，从状态 a、d 或 e 出发，极限分布是 (0, 0, 0, 1, 0)；从状态 b 或 c 出发，极限分布是 (0, 1, 0, 0, 0)，极限分布依赖于初始状态。

2、在PageRank™类型的算法中，通常会将转移矩阵P扰动成新矩阵~P := ε / n * [1 1 1 1 1; 1 1 1 1 1; 1 1 1 1 1; 1 1 1 1 1; 1 1 1 1 1] + (1 −ε)P，其中ε ∈(0, 1)，这里n = 5，1 - ε被称为阻尼因子。证明~P是一个马尔可夫转移矩阵，并且对应的链(~Xn)n≥1是不可约且非周期的。

要证明 ~P 是马尔可夫转移矩阵，需说明其 每行元素之和为 1 。

由于矩阵
$$
\frac{\varepsilon}{n} \cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \
\end{bmatrix}
$$
每行元素和为 ε（因为 n = 5，每行 5 个 1，$\frac{\varepsilon}{5} \cdot 5 = \varepsilon$）。

而 $(1 - \varepsilon)P$ 是原转移矩阵 P 的线性变换，P 每行元素和为 1，所以 $(1 - \varepsilon)P$ 每行元素和为 $1 - \varepsilon$。

因此，~P 每行元素和为 $\varepsilon + (1 - \varepsilon) = 1$，所以 ~P 是马