38、张量、函数空间与非线性方程求解

张量、函数空间与非线性方程求解

1. 张量与指标符号

1.1 张量的基本概念

张量简单来说是一种线性映射。例如，二阶张量 $[A]$ 是一种线性映射，它将给定的向量 $\mathbf{u}$ 与另一个向量 $\mathbf{v}$ 关联起来，即 $\mathbf{v} = [S]\mathbf{u}$。这里的线性意味着对于任意两个向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 以及任意两个标量 $\alpha$、$\beta$，有 $[S] (\alpha\mathbf{u} + \beta\mathbf{v}) = \alpha[S]\mathbf{u} + \beta[S]\mathbf{v}$。

张量的阶数可以扩展到更高阶。例如，胡克定律通过四阶弹性张量 $[c]$ 将机械应变张量 $[S]$ 映射到机械应力张量 $[\sigma]$，即 $[\sigma] = [c] [S]$。

1.2 指标符号

指标符号是一种强大的工具，能以更易读的方式书写向量和张量的复杂运算。指标可分为自由指标和哑指标。
- 自由指标规则 ：
- 自由指标的数量等于张量的阶数，如表 1 所示。标量是 0 阶张量，向量是 1 阶张量，张量的阶数可以是大于或等于零的任意整数，且只有阶数相同的张量才能相加。
- 自由指标在每个相加项中仅出现一次，并且在运算完成后仍保留在表达式中。例如，$a_i = \epsilon_{ijk}b_jc_k + A_{ij}d_j$。
- 每个相加项中的自由指标必须使用相同的字母。
- 项中的第一个自由指标对应行，第二个对应列