31、海洋机器人协同导航与最优传感器布局方法

海洋机器人协同导航与最优传感器布局方法

1. 协同导航方法

1.1 卡尔曼滤波器性能对比

在协同导航中，对线性卡尔曼滤波器（LKF）和无迹卡尔曼滤波器（UKF）进行了图形化对比。UKF取得了显著的结果改进：
| 滤波器类型 | 位置估计平均误差降低 | 位置估计标准差降低 | 速度估计平均误差降低 | 速度估计标准差降低 |
| — | — | — | — | — |
| UKF（滤波器1） | 40% | 40% | 35% | 30% |
| UKF（滤波器3） | 60% | 60% | 65% | 55% |
| UKF（滤波器4） | 45% | 50% | 30% | 不变 |

通过展示车辆1在车辆0固定坐标系中的真实相对位置轨迹，以及线性卡尔曼滤波器（左）和无迹卡尔曼滤波器（右）计算的估计轨迹，可以直观地看出UKF的估计质量更好。

1.2 协同导航原理与方法

研究了海洋机器人协同导航的方法，涉及静态和动态示例。采用了两种原理：
- 基于声学的对多个参考物体的距离测量。
- 基于声学的对单个物体的距离和方位测量。

这两种方法在不同场景下都有效，但前者需要大量水面舰艇，后者则需要额外的测量设备。

1.3 后续研究方向

为了实现仅通过距离测量完成导航任务，并减少所需水面舰艇的数量，可能减至仅一艘，后续将研究最优传感器布局，以优化从距离测量中获取的信息量。

2. 最优传感器布局概念

2.1 问题提出

想象使用多个测量设备（ROs）来估计静态或移动目标的位置，如何放置这些设备以获得最佳信息，以及如何确定它们的轨迹，是需要解决的问题。

2.2 解决思路

最优解决方案需要已知目标的位置或轨迹，通过构建基于目标真实位置或轨迹的代价函数，以传感器的位置或轨迹为变量，最小化代价函数来找到最优解。

2.3 相关理论基础

• Cramér - Rao界 ：目标是最小化该界，可通过最大化Fisher信息矩阵（FIM）的行列式来实现，即D - 最优设计。
• 可观性Gramian矩阵的特征值 ：希望系统可观性Gramian矩阵的最小特征值达到最大值。

2.4 对最优传感器布局的质疑与回应

最优传感器布局常受到质疑，因为似乎需要先知道目标位置才能进行布局。但有以下几点理由支持其研究：
1. 拓宽对系统行为的理解，特别是在海洋机器人领域，声学测量至关重要，优化测量配置可弥补声学测量的典型问题。
2. 在已知部分目标位置信息（如概率密度函数）的情况下有应用价值。
3. 适用于多个目标但重要性不同的场景，可优化对某个目标的估计精度。
4. 可将定位作为迭代过程，先进行粗略估计，再计算最优传感器位置，重复此过程以提高估计精度。
5. 对于移动目标，基于最优传感器布局的控制策略优于随机移动策略。

3. 最优角度配置示例

3.1 场景描述

研究一个移动系统（目标）在凸区域（如圆形）内移动的场景，需要在凸区域圆周上放置$n$个超声波测距传感器。主要研究两个问题：
- 如何放置传感器以获得最大信息量。
- 如果目标移动，如何控制传感器沿圆周移动。

3.2 相关参数与公式

假设考虑$m$维空间，目标位置为$\mathbf{p} 0$，传感器位置为$\mathbf{p}_1 - \mathbf{p}_n$。目标与第$i$个传感器的距离测量值为：
$\tilde{r}_i = |\mathbf{p}_0 - \mathbf{p}_i| + v {r,i}; \quad i = 1, \ldots, n$
其中$v_{r,i}$是零均值白高斯噪声，方差为$\sigma_r^2$。测量向量$\tilde{\mathbf{r}} = [\tilde{r} 1 \ldots \tilde{r}_n]^T$，真实距离向量$\mathbf{r} = [r_1 \ldots r_n]^T$，噪声向量$\mathbf{v}_r = [v {r,1} \ldots v_{r,n}]^T \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{R})$，协方差矩阵$\mathbf{R} = \sigma_r^2 \cdot \mathbf{I}_n$。

3.3 Fisher信息矩阵的计算

3.3.1 Fisher信息矩阵的定义

Fisher信息矩阵FIM定义为：
$FIM(x) = E\left{\left(\frac{\partial \ln \Lambda(x)}{\partial x}\right)^2\right}$
其中$\Lambda(x)$是似然函数，$\Lambda(x) = f_{Y|X}(y|x)$。

3.3.2 似然函数与FIM的计算

在当前场景下，$\tilde{\mathbf{r}} \sim \mathcal{N}(\mathbf{r}, \mathbf{R})$，似然函数为：
$\Lambda(\tilde{\mathbf{p}}) = f_{\tilde{\mathbf{r}}|\mathbf{p}}(\tilde{\mathbf{r}}|\tilde{\mathbf{p}}) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n \det \mathbf{R}}} e^{-\frac{1}{2}(\tilde{\mathbf{r}} - \mathbf{r}(\tilde{\mathbf{p}}))^T \mathbf{R}^{-1} (\tilde{\mathbf{r}} - \mathbf{r}(\tilde{\mathbf{p}}))}$
FIM的计算结果为：
$FIM = \frac{1}{\sigma_r^2} \nabla_{\tilde{\mathbf{p}}} \mathbf{r}^T \nabla_{\tilde{\mathbf{p}}} \mathbf{r}$

3.4 二维和三维情况下FIM行列式的计算

3.4.1 二维情况

$J_{2D} \cdot \sigma_r^2 = \sum_{i,j = 1}^n \left[(\partial_1 r_i)^2 (\partial_2 r_j)^2 - (\partial_1 r_i) (\partial_2 r_i) (\partial_1 r_j) (\partial_2 r_j)\right]$
进一步化简可得：
$J_{2D} = \frac{1}{2\sigma_r^2} \sum_{i,j = 1}^n |\mathbf{v} i|^2 |\mathbf{v}_j|^2 \sin^2 \alpha {i,j}$
其中$\mathbf{v} k = [\partial_1 r_k \ \partial_2 r_k \ 0]^T$，$\alpha {i,j} = \angle(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j)$。

3.4.2 三维情况

$J_{3D} \cdot \sigma_r^2 = \sum_{i,j,k = 1}^n \partial_1 r_i \partial_2 r_j \partial_3 r_k \left[(\mathbf{v}_i \times \mathbf{v}_j) \cdot \mathbf{v}_k\right]$
经过一系列化简后得到最终表达式。

mermaid流程图：

graph LR
    A[开始] --> B[定义场景和参数]
    B --> C[计算Fisher信息矩阵]
    C --> D{维度情况}
    D -->|二维| E[计算二维FIM行列式]
    D -->|三维| F[计算三维FIM行列式]
    E --> G[得出二维结果]
    F --> H[得出三维结果]
    G --> I[结束]
    H --> I

4. 不同维度下 FIM 行列式计算的深入分析

4.1 二维情况的物理意义

在二维情况下，$J_{2D} = \frac{1}{2\sigma_r^2} \sum_{i,j = 1}^n |\mathbf{v} i|^2 |\mathbf{v}_j|^2 \sin^2 \alpha {i,j}$ 这个公式有着重要的物理意义。$\sin^2 \alpha_{i,j}$ 项表明传感器之间的角度关系对信息获取至关重要。当两个传感器向量 $\mathbf{v} i$ 和 $\mathbf{v}_j$ 之间的夹角 $\alpha {i,j}$ 接近 $90^{\circ}$ 时，$\sin^2 \alpha_{i,j}$ 达到最大值 1，此时能获得最大的信息量。这意味着在二维平面上，为了提高目标位置估计的精度，应尽量使传感器之间的夹角接近直角。

例如，假设有三个传感器，它们的位置分布在圆周上。当它们两两之间的夹角接近 $120^{\circ}$ 时（相当于将圆周三等分），可以使 $\sin^2 \alpha_{i,j}$ 的总和相对较大，从而提高估计的准确性。

4.2 三维情况的几何解释

三维情况下的 $J_{3D} \cdot \sigma_r^2 = \sum_{i,j,k = 1}^n \partial_1 r_i \partial_2 r_j \partial_3 r_k \left[(\mathbf{v}_i \times \mathbf{v}_j) \cdot \mathbf{v}_k\right]$ 涉及到向量的叉积和点积运算，其几何意义与平行六面体的体积相关。$(\mathbf{v}_i \times \mathbf{v}_j) \cdot \mathbf{v}_k$ 是三个向量的三重积，它表示由这三个向量定义的平行六面体的（有符号）体积。

当三个传感器的向量 $\mathbf{v}_i$、$\mathbf{v}_j$ 和 $\mathbf{v}_k$ 相互垂直时，平行六面体的体积最大，此时能获得最大的信息量。在实际应用中，为了优化三维空间中的传感器布局，应尽量使传感器的向量相互垂直，以提高目标位置估计的精度。

4.3 二维与三维情况的对比

维度	关键因素	优化布局特点
二维	传感器间夹角 $\alpha_{i,j}$	夹角接近 $90^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$ 可提高信息量
三维	向量构成的平行六面体体积	向量相互垂直可使体积最大，提高信息量

从表格中可以看出，二维和三维情况虽然都与传感器之间的几何关系有关，但具体的优化布局方式有所不同。二维更侧重于角度关系，而三维则更关注向量构成的空间几何形状。

5. 最优传感器布局的实际应用流程

5.1 静态目标的传感器布局流程

对于静态目标的最优传感器布局，可以按照以下步骤进行：
1. 确定目标位置 ：通过初步的测量或其他手段，获取目标的大致位置信息。
2. 定义代价函数 ：根据 Cramér - Rao 界和 D - 最优设计原则，构建基于 Fisher 信息矩阵行列式的代价函数。
3. 优化计算 ：使用优化算法（如梯度下降法、遗传算法等）来最小化代价函数，从而确定传感器的最优位置。
4. 布置传感器 ：按照计算得到的最优位置布置传感器。

5.2 动态目标的传感器布局流程

对于动态目标，传感器布局需要考虑目标的运动轨迹，流程如下：
1. 预测目标轨迹 ：利用目标的历史运动数据和运动模型，预测目标的未来轨迹。
2. 确定传感器初始位置 ：根据目标的初始位置和预测轨迹，初步确定传感器的位置。
3. 实时调整传感器位置 ：在目标运动过程中，根据实时测量数据和目标轨迹的更新，动态调整传感器的位置，以保证始终能获得最大的信息量。

mermaid 流程图：

graph LR
    A[开始] --> B{目标类型}
    B -->|静态| C[确定目标位置]
    B -->|动态| D[预测目标轨迹]
    C --> E[定义代价函数]
    D --> F[确定传感器初始位置]
    E --> G[优化计算]
    F --> H[实时调整传感器位置]
    G --> I[布置传感器]
    I --> J[结束]
    H --> J

6. 总结

本文围绕海洋机器人协同导航和最优传感器布局展开了深入研究。在协同导航方面，无迹卡尔曼滤波器（UKF）在位置和速度估计上相比线性卡尔曼滤波器（LKF）有显著的性能提升。在最优传感器布局方面，通过构建代价函数和利用相关理论（如 Cramér - Rao 界和可观性 Gramian 矩阵的特征值），可以找到传感器的最优位置或轨迹。

对于不同维度下的传感器布局，二维情况注重传感器间的角度关系，三维情况则关注向量构成的平行六面体体积。在实际应用中，针对静态和动态目标分别有不同的布局流程，这些流程可以帮助我们在海洋机器人导航中更好地利用传感器，提高目标位置估计的精度。

未来，随着海洋机器人技术的不断发展，最优传感器布局的研究将更加深入，有望在更多复杂场景中实现高效、准确的导航。同时，结合人工智能和机器学习算法，可能会进一步优化传感器布局的计算和决策过程。