关于卡特兰数的一些小理解

第k个卡特兰数记作$C_k$。
开始几项是
1,1,2,5,14,42…..

实际意义

1. 有n对括号的合法括号序列匹配方案数
2. 1..n顺次入栈，出栈序列方案数。
3. 边数为n+2凸多边形三角划分方案数
4. n个节点的二叉树种数。

公式

$C_n=C_{2n}^{n}~-~C_{2n}^{n+1}$
推一下式子就有

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有两种递推式

f[n]=f右边[2n,n]。

公式由来

从括号序列的含义来看：
不妨将左括号看作1，右括号看作-1.
那么我们有n个左括号，n个右括号，在2n个位置中选出n个放左括号的方案数就是总数。
但不能有任何一个位置的前缀<=-1，所以要减去一些东西。

考虑一种sum=-2的方案，在他第一次到达-1这个位置时，将后面的操作全部取反。
这样最后sum=0，并且保证到达过-1,并且唯一对应一个不合法方案。
（每一个不合法方案都可以对应这样一个-2方案，同时-2方案也对应着这个不合法方案）

直接不重不漏地计算不合法方案比较困难，所以我们考虑他的对偶问题： sum(n)=-2的方案数。 也就是有n+1个-1，n-1个1的方案数。
就是上面的第一条式子了。